7.3. Примеры построения машин Тьюринга

Пример 7.1.

1. Пусть (X = {0,1}, Q = {q₀,q₁,q₂}, q₀, #, P), где Р имеет такие команды:

1 q₀ 1 q₀ R

0 q₀ 0 q₀ R # q₀ # q₁ L

1 q₁ 0 q₁ L

0 q₁ 1 q₂ L

# q₁ 1 q₂ L ,

где в начальный момент головка осматривает первый символ слова р  F(x) в положении q₀. Эта машина Тьюринга реализует алгоритм, который правильно вычисляет функцию f(x)=x+1 по правилам двоичного сложения добавления единицы до числа р, представленного в двоичной системе счисления. Рассмотрим некоторые примеры. Пусть р = 100111, тогда имеем такую последовательность команд:

1 q₀ 1 q₀ R  0 q₀ 0 q₀ R  0 q₀ 0 q₀ R  1 q₀ 1 q₀ R  1 q₀ 1 q₀ R  1 q₀ 1 q₀ R 

 # q₀ # q₁ L  1 q₁ 0 q₁ L  1 q₁ 0 q₁ L  0 q₁ 1 q₂ L

В результате слово р = 100111 “переписалось” машиной в слово р` = 101000 = 100111 + 1 в двоичной системе счисления.

2. Пусть (X = {0,1}, Q = {q₀}, q₀, #, P), где Р имеет такие команды:

0 q₀ 0 q₀ L

1 q₀ 1 q₀ L

# q₀ 1 q₀ E

Действие этой машины заключается в том, что, начавши работу с какого-либо непустого слова р, до этого слова приписывается слева символ 1. Машина при этом не останавливается. То есть, результат работы машины не определенный.

3. Пусть (X = {0,1}, Q = {q₀,q₁}, q₀, #, P), где Р имеет такие команды:

# q₀ # q₀ R

0 q₀ 0 q₀ R

1 q₀ 1 q₁ E

Действие этой машины Тьюринга заключается в том, что в слове р машина ищет символ 1 (если он есть) и, найдя его, останавливается. Если слово р является числом в двоичной системе счисления, то машина останавливается, если это число не равняется нулю. В противном случае работа машины продолжается бесконечно.

4. Пусть задано два слова а₀а₁ и а₂а₃а₄а₅ (рис. 7.2). Задание состоит в том,

чтобы, начиная с левого конца ленты, заменить символы а₃ и а₅ на а₂ и а₄ соответственно. После чего возвратиться к левому концу ленты. Команды имеют такой вид:

а₀ q₀ а₀ q₀ R а₃ q₂ а₂ q₂ R а₄ q₃ а₄ q₃ L

a₁ q₀ а₁ q₀ R а₄ q₂ а₄ q₂ R а₂ q₃ а₂ q₃ L

# q₀ # q₁ R а₅ q₂ а₄ q₃ R # q₃ # q₃ L

а₂ q₁ а₂ q₂ R # q₃ # q₃ L а₁ q₃ а₁ q_z L , где q_z – состояние останова.

…

…

#

а0

а1

#

a2

а3

а4

а5

#

…

…

Рис. 7.2

Функциональную схему МТ для этого примера зададим в в виде таблицы 7.1.

Таб. 7.1.

X/Q	q0	q1	q2	q3
a0	R
a1	R			Lqz
a2		Rq2		L
a3			а2 R
a4			R	L
a5			а4 Rq3
#	Rq1			L

5. Составим функциональную схему МТ, которая соответствует алгоритму

сложения двух чисел, представленных унарной записью. То есть, числа подаются совокупностью единиц, общая сумма которых равняется заданному числу. Числа отделяются знаком + (рис. 7.3.). Пусть это будут числа 4 и 6. Начальное слово на ленте имеет вид 1111 + 111111.

Функциональную схему МТ для этого примера приведено в таб. 7.2.

#

1

1

1

1

+

1

1

1

1

1

1

#

Рис. 7.3.

Таб. 7.2.

X/Q	Q0	q1	q2
1	# Rq2	1Lq1	1Rq2
#	Rq2	# Rq0	1Lq1
+	# Rqz	+Lq1	+Rq2

На этой схеме сложения начальные условия определяются ячейкой с крайней левой единицей и состоянием q₀. На первом такте единица стирается, выдается команда движения вправо и переходу в состояние q₂(#Rq₂). Последующие такты сводятся до движения вправо через все единицы (1Rq₂) и знак “+” (+Rq₂) пока не будет достигнута пустая ячейка. Тогда в нее вписывается единица, а машина переходит в состояние q₁(1Lq₁). После этого происходит движение в обратном направлении через все символы 1 и “+” до первой пустой ячейке слева. Далее происходит движение вправо, и машина переходит в состояние q₀(#Rq₀). Благодаря такому циклу единица левого слагаемого переносится в правое слагаемое, что соответствует слову 111+1111111. Очевидно, что через четыре таких цикла начальное слово превратится в 1111111111. До начала пятого цикла в состоянии q₀ рассматривается символ “+”, который стирается, происходит движение вправо и останов (#Rq_z, вместо состояния q_z можно использовать любое состояние, отсутствующее при написании команд). В результате получаем слово 1111111111, что соответствует числу 10.

6. Построить машину Тьюринга сложения двух натуральных чисел в алфавите Х{1}, как в предыдущем примере, начиная и заканчивая свою работу с левой непустой ячейки, но по другой программе.

Двигаясь вправо, найти символ "+" и заменить его на символ "1", затем дойти до правой крайней ячейки с символом "1", заменить его на # - пустой символ, повернуться в начальное положение и закончить роботу. Тогда программа будет иметь такой вид:

1 q₀ 1 q₀ R

+ q₀ 1 q₀

# q₀ # q₁ L

1 q₁ # q₂ L

1 q₂ 1 q₂ L

# q₂ # q_z R

7. Построить машину Тьюринга, которая в алфавите Х{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} выполняет операцию сложения 1 к натуральному числу n, записанному в десятичной системе счисления: 1) находясь в начальном положении справа в крайней ячейке (т.е. в разряде единиц); 2) находясь в стандартном положении. Программа для поставленной задачи будет иметь вид:

1) 0 q₁ 1 q_z 2) 0 q₀ 0 q0 R 0 q₁ 1 q_z

1 q₁ 2 q_z 1 q₀ 1 q₀ R 1 q₁ 2 q_z

2 q₁ 3 q_z 2 q₀ 2 q₀ R 2 q₁ 3 q_z

3 q₁ 4 q_z 3 q₀ 3 q₀ R 3 q₁ 4 q_z

4 q₁ 5 q_z 4 q₀ 4 q₀ R 4 q₁ 5 q_z

5 q₁ 6 q_z 5 q₀ 5 q₀ R 5 q₁ 6 q_z

6 q₁ 7 q_z 6 q₀ 6 q₀ R 6 q₁ 7 q_z

7 q₁ 8 q_z 7 q₀ 7 q₀ R 7 q₁ 8 q_z

8 q₁ 9 q_z 8 q₀ 8 q₀ R 8 q₁ 9 q_z

9 q₁ 0 q₁ L 9 q₀ 9 q₀ R 9 q₁ 0 q₁ L

# q₁ 1 q_z # q₀ # q₁ L # q₁ 1 q_z

8. Построить машину Тьюринга, выполняющую операцию (x div 2) – целочисленное деление, и имеющую входной алфавит А = {0, 1, #}. Таблица соответствия данной машины Тьюринга будет иметь следующий вид:

X/Q	q0	q1	q2
0	R	#q2L	0q2L
1	R	#q2L	1q2L
#	#q1L		0qz

Операция (x div 2) реализована сдвигом цепочки вправо на 1 разряд.