5.2 Циклические коды

Циклические коды являются разновидностью систематических кодов. Они получили широкое распространение из-за простоты кодирования и декодирования. Все разрешённые кодовые комбинации производящей матрицы могут быть получены циклическим сдвигом одной разрешённой комбинации, называемой образующей для данного кода.

Любой -разрядный код можно представить в виде полинома степени

,

где - основание счисления,

- коэффициенты, принимающие значения «0» или «1», если .

Например, комбинацию 110101 можно записать как

.

Циклический сдвиг эквивалентен умножению многочлена на .

Действительно,

.

Но в кодовой комбинации должно быть всего членов, причём степень полинома не должна превышать . Чтобы удовлетворить этому условию, положим . Тогда получим

,

т.е. получили циклический сдвиг. Если код, выраженный в виде полинома, принадлежит разрешённой кодовой комбинации, то кодовая комбинация, полученная циклическим сдвигом, также принадлежит разрешённой кодовой комбинации. Из условия того, что имеем

. (5.16)

Пусть имеется полином степени . Среди полиномов выделим полиномы, которые делятся только лишь на самого себя и на 1. Такие полиномы называются простыми или неприводимыми.

Рассмотрим неприводимый полином и различные кодовые комбинации, выраженные в виде полиномов степени . Из всей совокупности полиномов к числу разрешённых кодовых комбинаций отнесём только те, которые делятся без остатка на полином . Определённый таким образом полином степени называется образующим.

Циклическими кодами называются коды, каждая кодовая комбинация которых, выраженная в виде полинома, имеет степень, не превышающую , и нацело делится на образующий полином степени .

Ввиду того, что циклические коды относятся к группе систематических кодов, то можно построить производящую матрицу.

Каноническая форма производящей матрицы размерности (5.10) состоит из зеркального отражения единичной подматрицы размерности , ( матрица отражения [Марпл]), и проверочной подматрицы размерности .

. (5.23)

Каждую строку матрицы разделим на неприводимый полином , дающий n остатков, и заменим нули в соответствующей строке проверочной части матрицы на остаток . Результирующая матрица будет производящей матрицей циклического кода .

Пример 5.5. Пусть n = 7, k = 4, r = 3. Первоначальное значение производящей матрицы имеет вид

Выберем образующий полином

Таблица 5.6
Номер строки	1	2	3	4
Код остатка	011	110	111	101

, который дает 7 остатков при делении кода ошибки на образующий полином. Разделим коды строк производящей матрицы на код образующего полинома . В результате имеем четыре остатка, значения которых приведены в таблице 5.6. После замены нулей в проверочной части матрицы соответствующими кодами остатков получим каноническую форму производящей матрицы

.

Полученная производящая матрица состоит из четырёх строк (кодов). Все остальные =11 кодов, кроме кода 0000000, могут быть получены линейной комбинацией строк производящей матрицы .