Поворот
Уравнение поворота (3) можно представить в виде:
. (18)
Полагая
,
имеем:
. (19)
Перемножив, получим:
.
Докажем,
что два последовательных поворота
аддитивны. Если точку
повернуть на угол
в точку
,
а точку
— в точку
при повороте на угол
,
то общий поворот равен
.
Доказательство:
.
Найдем
:
2.3. Композиции двумерных преобразований
Но
обычно при работе с графической системой
объект подвергается сразу нескольким
преобразованиям. Для получения желаемого
результата используют композицию
преобразований, объединяя матрицы
.
К точке более эффективно применять одно
результирующее преобразование, чем ряд
преобразований последовательно.
Рассмотрим,
например, поворот объекта относительно
некоторой точки
.
До этого был рассмотрен поворот относительно начала координат. Для решения этой задачи разобьем ее на три части (три элементарных преобразования):
Перенос точки
в начало координат),
.Поворот,
.
Рис. 2.5
Перенос точки из начала координат в начальную позицию,
.
Результирующее преобразование имеет вид:
,
или:
Этот пример хорошо иллюстрирует, как применение однородных координат упрощает задачу.
Аналогично, если надо промасштабировать объект относительно точки , а не начала координат, то надо:
Перенести точку в начало координат, .
Масштабировать,
.Перенести точку назад, .
Результат имеет вид:
Если надо промаштабировать, повернуть и расположить в нужном месте домик, (центром поворота и масштабирования является точка ), то необходимо выполнить:
Перенос точки в начало координат, .
Масштабирование, .
Поворот, .
Перенос точки из начала координат назад, .
В
структуре данных, в которой содержится
это преобразование, могут находиться
масштабный коэффициент
,
угол поворота
и координаты
.
Но может быть и записана матрица
результирующего преобразования:
.
2.4. Матричное представление трехмерных преобразований
Аналогично
тому, как двумерные преобразования
описываются матрицами размером
,
трехмерные могут быть представлены в
виде матриц
.
И тогда трехмерная точка
записывается в однородных координатах
как
,
где
.
Если же
,
то точка представляется в виде
.
Перенос
Трехмерный перенос является простым расширением двумерного:
.
Масштабирование
Расширяется аналогичным образом:
,
или
.
Поворот
Двумерный
поворот, рассмотренный ранее, является
в то же время трехмерным поворотом
вокруг оси
.
.
Матрица поворота вокруг оси :
.
Матрица поворота вокруг оси :
.
При
сложном повороте, он раскладывается на
составляющие:
Рис. 2.6
— поворот
вокруг оси
до совмещения с плоскостью
;
— поворот
вокруг оси
до совмещения с полуосью
.
2.5. Композиция трехмерных преобразований
Путем объединения элементарных трехмерных преобразований можно получить другие преобразования.
Рис. 2.7
Пример.
Преобразовать отрезок
из начальной позиции в конечную таким
образом, чтобы точка
совпала с началом координат, а отрезок
располагается вдоль отрицательной
полуоси
.
На длины отрезков преобразование не воздействует.
Для выполнения этой задачи рассмотрим три шага:
Перенос точки
в начало координат.Поворот вокруг оси до совмещения отрезка с плоскостью
.Поворот вокруг оси до совмещения отрезка с отрицательной полуосью .
Шаг
1
Рис. 2.8
Применим
к
:
Шаг
2
Рис. 2.9
Поворот вокруг оси на угол (угол положительный)
,
где
.
Подставляя эти выражения в матрицу поворота, находим:
Шаг 3
Поворот
вокруг оси
(угол отрицательный)
Рис. 2.10
,
Где
.
Результат поворота:
,
теперь отрезок совпадает с осью .