11. Проецирование

11.1. Основные виды проекций

В общем случае проекции преобразуют точки в СК размерностью n в точки СК размерностью m, где m<n. Мы рассмотрим преобразование 3-хмерного пространства в 2-мерное.

Проецирование 3-хмерного объекта осуществляется при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию. Т.к. проекция отрезка сама является отрезком, то достаточно спроектировать лишь конечные точки.

Рис. 11.1

Определенные т.о. проекции являются плоскими геометрическими проекциями (проецирование на плоскость прямыми линиями).

Рис. 11.2

Если расстояние между центром проекции и плоскостью проекции конечно, то проекция называется центральной, если же бесконечно, проекция – параллельная.

При описании центральной проекции (ЦПр) задается центр проекции, а при описании параллельной проекции (ППр) – направление проецирования.

Параллельные проекции

ППр делятся на 2 типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования ( ) и нормалью к проецируемой плоскости ( ).

— В прямоугольных проекциях эти направления совпадают ( ), а в косоугольных — нет ( ). Наиболее широко используются ортографические проекции: вид спереди, сверху и сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим с направлением проецирования .

Рис. 11.3

В аксонометрических проекциях используется проекционная плоскость, не перпендикулярная главным координатным осям, поэтому на них изображается сразу несколько сторон объекта. Сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются.

Широко используется изометрия. В этом случае нормаль к проекционной плоскости составляет равные углы с каждой из главных координатных осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (а,в,с), то |a|=|в|=|с|.

Существует 4 различные изометрические проекции: (а,а,а); (-а,а,а); (а,-а,а);

(а,а,-а). (Остальные 4 варианта дублируют эти, т.к. (а,а,а)=(-а,-а,-а)).

Свойство изометрии: все 3 главные координатные оси одинаково укорачиваются.

в диметрии нормаль к проекционной плоскости составляет равные углы с двумя координатными осями.

В триметрии нормаль Пр-ой плоскости образует с координатными осями различные углы.

— Косоугольные проекции ( ) сочетают в себе свойства ортографических проекций со свойствами аксонометрии. Проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, Проецируется так, что углы и расстояние не искажаются.

В косоугольной изометрии направление проецирования составляет с проекционной плоскостью угол 45⁰. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т.е. укорачивания нет.

обычно = 30⁰ или 45⁰

Рис. 11.4

В косоугольной диметрии направление проецирования составляет с проекционной плоскостью угол . Отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют 1/2 их действительной длины.

Рис. 11.5

Эта проекция более реалистична, т.к. укорачивание с больше согласуется с нашим визуальным опытом.