9. Описание и характеристика поверхностей.

9.1. Описание поверхностей Параметрическое описание

Поверхности, заданные в виде:

,

где u,t – параметры, изменяющиеся в заданных пределах, относятся к классу параметрических.

Для одной фиксированной пары (u,t) можно вычислить положение только одной точки поверхности. Для полного представления всей поверхности необходимо с определенным шагом перебрать множество пар (u,t) из диапазона их изменений, вычисляя при этом X,Y,Z.

Плоскость, проходящая через точку (x₀,y₀,z₀) и векторы и , исходящие из этой точки, определяется:

,

где - проекции (m=1,2) на оси OX,OY,OZ.

Приведенное уравнение опишет прямоугольник со сторонами длиной и , если единичные векторы и будут перпендикулярны друг другу, а параметры u и t изменяются от 0 до1.

Нормаль к плоскости, заданной параметрически, может быть определена как:

.

Эллипсоид вида:

в параметрическом виде запишется:

, -долгота, — ширина.

Нормаль к поверхности эллипсоида:

.

Важны в геометрическом моделировании бикубические параметрические поверхности. Это простейшие поверхности, с помощью которых достигается непрерывность составной функции и ее первых производных. То есть функция из нескольких смежных бикубических участков будет обладать непрерывностью и гладкостью в местах стыка. Они похожи на гладкие изогнутые четырехугольники, представление о которых могут дать листы металла, бумаги. Они могут описывать любые геометрические формы.

Недостатки параметрического описания:

• трудоемкость описания,

• большие вычислительные затраты (нужны численные методы вычисления).

• параметрическое описание подразумевает, что исходной позицией светового луча, строящего изображение, является точка на объекте. Это затрудняет применение алгоритмов компьютерного синтеза изображений, предполагающих иную начальную позицию луча, например метода трассировки лучей. Это ведет к ухудшению изображений: отсутствие теней, прозрачности и зеркального отражения соседних объектов.

Достоинства параметрического описания:

• Возможность передачи геометрической формы очень сложных поверхностей, например винтообразной улитки. Она представляет собой сумму 3-х векторов: первый - вокруг которого завивается улитка, конец которого очерчивает спираль, а начало скользит по первому, третий - начало которого скользит по спирали, а конец вращается вокруг спирали.

Описание тора, симметричного относительно оси OZ и плоскости XOY:

,

где - радиус кольцевого “баллона” тора;

R – расстояние от центра тора до оси “баллона”;

изменяется в пределе ;

изменяется в пределе .

Неявное описание типа этих и многих других поверхностей невозможно.

• Приспособленность к физическим процессам управления резцом в станках с ЧПУ. Резец должен вытачивать деталь, двигаясь в пространстве по законам, заданным в параметрической модели.

• Параметрические поверхности легко ограничиваются в пространстве пределами изменения параметров. Например, наружная поверхность дольки апельсина в виде 1/8 шара радиуса r:

, где , .