5.5. Синтез регуляторов с минимальной дисперсией
Регуляторами с минимальной дисперсией будем называть регуляторы, расчет которых основан на минимизации дисперсии регулируемой переменной у(t):
Ввиду того, что в этот критерий не входит (со своим весом) управляемая переменная u(t), во многих случаях наблюдались весьма значительные изменения сигнала на входе регулятора. Поэтому и было предложено дополнить критерий взвешенным значением от управления и минимизировать величину
Шум n(k) обычно описывают как непараметрическими моделями (например, переходной характеристикой формирующего фильтра), так и параметрическими. Введение управляющего воздействия не позволяет получить минимум дисперсии регулируемой переменной; вместо нее минимизируется взвешенная сумма дисперсий регулируемой и управляемой переменных. Регуляторы, оптимизированные по такому критерию, будем именовать регуляторами с минимальной обобщенной дисперсией.
Ниже излагается методика расчета регуляторов с минимальной обобщенной дисперсией для объектов с запаздыванием и без него. Обычные регуляторы с минимальной дисперсией могут быть получены как частный случай при r = 0. Для описания формирующих фильтров используются параметрические модели, которые наиболее удобны при синтезе адаптивных алгоритмов управления, основанных на идентификации параметров.
5.5.1. Регуляторы с минимальной обобщенной дисперсией для объектов без запаздывания
Допустим, что объект управления имеет передаточную функцию
(5.150)
формирующий фильтр шума –
(5.151)
Предполагается, что v(k) – это некоррелированный случайный сигнал, причем
(5.152)
Структурная схема рассматриваемой системы управления представлена на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Регулятор с минимальной обобщенной дисперсией в системе управления с объектом без запаздывания
Будем считать, что задающее воздействие (k) = 0, при этом e(k) = – y(k). Требуется построить регулятор, обеспечивающий минимум критерия:
(5.153)
Этот регулятор должен вырабатывать такую последовательность входных воздействий u(k), которая минимизирует ошибку вида (5.153), вызванную случайным возмущением {v(k)}.
Отметим, что в критерии качества I используют величину y(k + l), а не y(k), поскольку в исходной модели b0 = 0 (т. е. прямая передача отсутствует), в силу чего управляющее воздействие u(k) не оказывает влияния на величину регулируемой переменной y(k). Ввиду этого необходимо выразить y(k + l) в функции ранее наблюдавшихся значений y(k), y(k – 1), …; u(k), u(k – 1), … . Согласно уравнениям (5.150) и (5.151), предсказанное значение y(k + l) можно получить из выражений
(5.154)
.
(5.155)
Последнее перепишем в развернутой форме:
(5.156)
Выполнив умножение и возвратившись во временную область, имеем
(5.157)
Подставим полученное соотношение в критерий (5.153):
(5.158)
В момент времени k все величины, входящие в (5.158), известны, за исключением u(k) и v(k + l). Поэтому, беря математическое ожидание последней, учтем, что она не зависит от остальных переменных:
(5.159)
Оптимальное значение управляющей переменной и(k) определим из условия
(5.160)
Преобразуем множитель при b1 в уравнении (5.160), воспользовавшись соотношением (5.157):
(5.161)
Подставив выражение (5.154) в (5.161)
,
получим окончательный результат в виде передаточной функции регулятора с минимальной обобщенной дисперсией (далее он сокращенно именуется РМД1):
(5.162)
Как следует из (5.162), в описание этого регулятора входят элементы модели объекта управления (полиномы A(z–1) и В(z–1)) и модели случайного возмущения (полиномы С(z–1) и D(z–1)). При r = 0 (5.162) дает упрощенный вариант регулятора с минимальной дисперсией (сокращенное обозначение – РМД2):
(5.163)
В случае C(z1) = A(z1) передаточная функция регулятора, обозначаемого РМД3, приобретает вид
(5.164)
При r = 0 (5.164) переходит в передаточную функцию регулятора РМД4:
(5.165)
Синтезированные регуляторы существенно отличаются по своим характеристикам.