5.2.1. Алгоритмы управления первого и второго порядков

а) Алгоритмы управления второго порядка.

Рассмотрим сначала алгоритмы управления второго порядка. Алгоритмы первого порядка будут получены затем путем упрощений.

Задав v = 2 в уравнении (5.10), получим

(5.12)

Запишем в соответствии с уравнением (5.12) следующее соотношение:

u(k) = u(k – 1) + q₀e(k) + q₁e(k – 1) + q₂e(k – 2), (5.13)

Рассматривая единичное ступенчатое изменение сигнала ошибки

(5.14)

сформируем систему уравнений для последовательных значений выходного сигнала регулятора u(k), следующих из (5.13):

(5.15)

В случае когда u(l) < u(0), дискретный регулятор соответствует непрерывному ПИД-регулятору с дополнительной задержкой сигнала на один такт. Если параметр регулятора q₀ > 0, то можно записать следующие соотношения для параметров q₀, q₁ и q₂:

при u(1) < u(0): q₀ + q₁ < 0 или q₁ < – q₀;

при u(k) < u(k–1) для k  2: q₀ + q₁ + q₂ > 0 или q₂ > –(q₀ + q₁).

Для положительного коэффициента передачи регулятора выполняется условие q₀ > q₂. Таким образом, обобщая допустимые диапазоны изменения параметров регулятора, получим

q₀ > 0; q₁ < q₀; (q₀ + q₁) < q₂ < q₀. (5.16)

Реакция регулятора на единичное ступенчатое входное воздействие приведена на рис. 5.2, а, а допустимые области изменения его параметров изображены на рис. 5.3. Как видно из рис. 5.2, начальное значение управляющей переменной u(0) при рассмотренном входном сигнале определяется величиной параметра q₀.

a)

б)

Рис. 5.2. Переходные процессы для алгоритмов управления первого и второго порядков: а – ПИД-алгоритм управления второго порядка; б – ПИ-алгоритм

управления первого порядка

Определим следующие коэффициенты, характеризующие свойства регулятора:

K = q₀ – q₂  коэффициент передачи;

c_Д = q₂/K  коэффициент опережения; (5.17)

c_i = (q₀ + q₁ + q₂)/K  коэффициент интегрирования.

Эти коэффициенты, определяющие вид переходного процесса регулятора, изображены на рис. 5.4. Коэффициенты (5.17) при малых значениях такта квантования связаны с соответствующими коэффициентами непрерывных ПИД-алгоритмов управления (5.5) следующими соотношениями:

(5.18)

Рис. 5.3. Диапазоны изменения параметров q₀, q₁ и q₂ ПИД-регулятора.

Для заданного значения q₀ значения параметров q_1i и q_2i должны лежать в областях, выделенных точками (как показано линией 1–2–3–4).

Рис. 5.4. Переходный процесс для алгоритма управления второго порядка, где K – коэффициент передачи; c_д – коэффициент опережения; g_i – коэффициент

интегрирования

Из (5.18) видно, что для малых тактов квантования коэффициенты передачи регуляторов тождественно равны. Коэффициент опережения c_д равен отношению постоянной дифференцирования к такту квантования, а коэффициент интегрирования C_i – отношению такта квантования к постоянной интегрирования. Учитывая условия (5.16), получим, что

c_д > 0; c_i > 0; c_i < c_д (5.19)

Если рассмотренные выше коэффициенты подставить в выражение

, (5.20)

то дискретная передаточная функция регулятора примет вид

(5.21)

Следует отметить, что рассмотренный выше алгоритм управления второго порядка является аналогом непрерывного ПИД-регу-лятора с положительными параметрами только в том случае, если выполняются условия (5.16) или (5.19). В общем случае параметры регулятора, определенные в результате оптимизации, могут и не удовлетворять этим условиям, что зависит от характеристик конкретного объекта управления, вида критерия оптимизации и возмущающего сигнала.

б) Алгоритм управления первого порядка

Положив q₂ = 0, получим из (5.20) передаточную функцию

, (5.22)

которой соответствует разностное уравнение

u(k) = u(k – 1) + q₀e(k) + q₁e(k – 1).

Реакция регулятора на единичное ступенчатое входное воздействие определяется следующей системой уравнений:

(5.23)

При u(l) > u(0) алгоритм управления первого порядка аналогичен непрерывному ПИ-алгоритму без дополнительной задержки. Если коэффициент q₀ > 0, то выполняется условие q₀ + q₁ > 0 или q₁ > q₀.

На рис. 5.2, б показана реакция дискретного регулятора первого порядка на единичный ступенчатый сигнал. По аналогии с (5.17) определим следующие характерные коэффициенты алгоритма:

K = q₀  коэффициент передачи;

c_i = (q₀ + q₁)/K  коэффициент интегрирования. (5.24)

Для ПИ-алгоритма с положительными коэффициентами

c_i > 0. (5.25)

Подставляя введенные коэффициенты в выражение для передаточной функции (5.22), получим

(5.26)

Если параметр q₀ выбран равным нулю, то будет получен регулятор интегрирующего типа с передаточной функцией

(5.27)

и соответствующим разностным уравнением

(5.28)

Другими частными случаями являются регулятор пропорционального типа, передаточная функция которого

или (5.29)

получена из (5.26) при с_i = 0, и регулятор пропорционально-дифференциального типа с передаточной функцией

или , (5.30)

полученной из (5.20) при с_i = 0.