3.4. Метод гармонической линеаризации нелинейностей систем автоматического управления

Во многих нелинейных системах присутствуют периодические изменения координат.

В 1934 г. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов опубликовали метод определения параметров периодических режимов, основанный на том, что в силу фильтрующих или резонансных свойств системы, движение в которой близко к синусоидальному, при исследовании периодического режима можно принимать во внимание только основную гармонику. Это условие является основной идеей метода гармонической линеаризации, причем система может включать несколько нелинейных и линейных частей.

Пусть замкнутая система состоит из нелинейного безинерционного элемента с характеристикой

x = j(s) (3.91)

и инерционной линейной части, описываемой комплексной передаточной функцией W_л(jw).

Если на вход нелинейного звена действует гармонический сигнал

s = asinwt, (3.92)

то первая гармоника на выходе нелинейного элемента

x = B₁sinwt + A₁coswt, (3.93)

где В₁ и А₁ определяются как коэффициенты ряда Фурье:

(3.94)

(3.95)

Обозначив

и (3.96)

перепишем (3.93) в виде

. (3.97)

Учитывая, что

, (3.98)

получим

. (3.99)

Зависимость (3.99) называется гармонической линеаризацией, а величины q(a) и q(a) – коэффициентами гармонической линеаризации.

Уравнение (3.99) линейно только при а = const. Коэффициенты данного периодического решения зависят от искомого решения и поэтому сохраняются нелинейные свойства.

На основании зависимости (3.99) находим передаточную функции линеаризованного нелинейного элемента:

(3.100)

и амплитудно-фазовую характеристику

. (3.101)

Амплитудно-фазовая характеристика зависит только от амплитуды и не зависит от частоты, чем отличается от характеристик линейных звеньев системы. Для динамических нелинейностей, где присутствует явная зависимость характеристики от скорости, коэффициенты q и q зависят от амплитуды а и частоты w. Существуют нелинейности, у которых коэффициенты q и q зависят только от частоты и такие нелинейные звенья называют псевдолинейными.

Используя подстановку  = wt и формулы для вычисления В₁ и А₁, имеем зависимости

(3.102)

На основании уравнений (3.102) рассчитывают коэффициенты нелинейностей. Для некоторых типовых нелинейностей в прил. 2 приведены расчетные формулы.

Если нечетно-симметричная нелинейность однозначна, то

q= 0, a j(s) = q(a)s. (3.103)

Поскольку численные значения коэффициентов q(a) и q(a) можно определить лишь зная амплитуду гармонических колебаний в системе, то воспользуемся методом нахождения параметров гармонической составляющей.

Структурная схема линеаризованной системы представлена на рис. 3.19.

Риc. 3.19. Линеаризованная система управления

Периодическое решение линеаризованной системы получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней. В соответствии с критерием Найквиста, в этом случае можно записать:

(3.104)

Уравнение (3.104) традиционно решается графически – путем построения на комплексной плоскости графиков для левой и правой части уравнения. Точка пересечения графиков позволяет найти величины а и w (рис. 3.20).

jV

 = 0

 = 0

U

a

a



W_л(j)

Рис. 3.20. Графическое решение уравнения (3.104)

Величину а в точке М определяют по кривой , а значение частоты w по кривой W_л(jw). Важно оценить робастность данного решения к возможным вариациям параметров или его устойчивость.

Можно придать амплитуде отклонения Da. Система будет возвращаться к рассчитанному значению, или наоборот, отклонятся. Если построить амплитудно-фазовую характеристику линеаризованной разомкнутой системы при Da > 0, то для устойчивых автоколебаний критерий устойчивости Найквиста будет выполняться.

Для устойчивости автоколебаний системы при Da < 0 критерий устойчивости Найквиста будет нарушаться, годограф будет охватывать точку 1, j0.

Из сказанного следует, что при Da > 0:

(3.105)

или

. (3.106)

Откуда следует, что для устойчивого периодического решения положительный отсчет амплитуды а вдоль кривой 1/W_н(а) (рис. 3.20) должен быть направлен изнутри вовне через кривую W_л(jw).

Существуют и другие методы нахождения и оценки устойчивости автоколебаний в нелинейной системе, например алгебраические.