2.3. Расчет параметров настройки регуляторов исходя из условия обеспечения желаемых показателей колебательности

Рассмотрим порядок расчетов для основных типовых законов регуляторов. Пусть задана структура типового регулятора и желаемый показатель колебательности M_жел.

П-регулятор должен обеспечить такой коэффициент пропорциональности k_пр, при котором амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет касаться окружности с M_жел.

Вне зависимости от масштаба графиков окружность с M_жел всегда касается прямой, проведенной из начала координат в третьем квадранте под углом

α = arcsin(1/M_жел) (2.18)

к отрицательной вещественной полуоси. Точка касания прямой к окружности с M_жел соответствует координате 1 вещественной оси. При величине k_пр, соответствующему запасу устойчивости системы, окружность с заданным M_жел должна одновременно касаться амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и луча под углом α к отрицательной полуоси. С учетом изложенного расчет производится графоаналитическим методом в следующем порядке.

Вначале строится амплитудно-фазовая характеристика объекта W_oб(jω) и из начала координат проводится луч под углом α к отрицательной вещественной полуоси. Затем подбирается окружность с центром на вещественной отрицательной оси, касающаяся одновременно амплитудно-фазовой характеристики объекта и луча.

Определим модуль координаты точки касания лучом новой окружности |l|. Можно написать соотношение

|l|∙k_пр = 1, (2.19)

откуда находим k_пр = 1/|l|.

ПИ-регулятор рассчитывается аналогично П-регулятору с отличием в том, что амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы строят из условия k_пр = 1 и для нескольких фиксированных значений k_и.

На основании соотношения (2.19) для каждого фиксированного значения на основании соответствующих графиков рассчитываются коэффициенты пропорциональности k_пр. Среди допустимых решений можно выбрать такие, которые обеспечивают наибольшее произведение k_прk_и.

ПИД-регулятор рассчитывается по такой же схеме, как и ПИ-регулятор. Для построения амплитудно-фазовых характеристик разомкнутой системы принимается равным единице k_пр и задается несколько фиксированных значений k_и, k_Д, или их соотношение k_и : k_Д. Далее подбираются окружности, которые касаются луча и амплитудно-фазовых характеристик. Затем из точек касания окружностями луча восстанавливаются перпендикуляры на вещественную ось и находятся коэффициенты k_пр на основании уравнения (2.19), а из полученных вариантов  соотношения коэффициентов k_пр, k_и,k_Д будем отдавать предпочтение условию: k_прk_и→ max.

Пример решения задачи с помощью пакета MatLab при расчете регулятора по заданному показателю колебательности

Рассчитываем регулятор исходя из М = 1,15 для объекта

clear, clc, clf

% задаем передаточную функцию объекта

ww = tf([1366.875 13668.75], [400 12732 102218 155648 ...

84015 45100]);

figure(1);

nyquist(ww);

% задаем величину показателя качества

M = 1.15;

w = 2:0.01:2;

p = j*w;

kp = 1;

Ti = 1.769;

www = (kp+1./(Ti*p)).*(1366.875*p + 13668.75)./(400*p.^5+...

12732*p.^4+102218*p.^3 + 155648*p.^2 + 84015*p + 45100);

% создаем функции для перехода в комплексную область

Re = real(www);

Im = imag(www);

% объявляем радиус окружности

R = M/(1-M^2);

% C - расстояние от мнимой оси до центра окружности

C = M^2/(1-M^2);

% !Геометрия! x^2 + y^2 = R^2

y1 = sqrt(R^2-(w-C).^2);

y2 = −sqrt(R^2-(w-C).^2);

% k - тангенс угла наклона касательной к окружности

k = tan(asin(1/M));

% задаем уравнение прямой

y3 = k*(w);

figure(2);

plot(Re, Im, w, y1, w, y2, w, y3);

grid on

kp = [0 1 1.2 1.29 1.3 1.5 1.6 1.7 1.8 2.0];

Ti = [0 1.769 1.7692 1.765 2.118 2.65 3.08 3.77 5.21 25];

figure(3);

plot(Ti, kp);

grid on