8.Условная вероятность, ее свойства.

Условной вероятностью Р(А/В ) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже произошло:

Р(А/В )= ,Р(В)≠0 – безусловная вероятность ,аналогично Р(В/А )= ,Р(А)≠0 – безусловная вероятность

Свойства:1)Р(А/В)≥0 2)Р(Ø/В)=0 3)Р(Ω/В)=1 4)Если А и В несовместны(А+В≠Ø),то Р((А+В)/С)=Р(А/С)+Р(В/С)

Пример. В урне 6 белых и4 черных шаров. Наудачу вынимают один за другим два шара, причем первый шар, который оказался белого цвета, в урну не возвращается. Найти вероятность того, что второй шар тоже белого цвета.

Решение. Пусть событие А={первый шар – белый}, событие В= {второй шар– белый}. Вероятность события В зависит от того, произошло или не произошло событие А. Так, если первым вынут белый шар, то в урне осталось9 шаров, среди которых5 белых, поэтому Р(В/А)=5/9

9.Теорема умножения событий и следствия из нее.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В)

Пример. В урне 6 белых и4 черных шаров. Наудачу вынимают один за другим два шара, причем первый шар, который оказался белого цвета, в урну не возвращается. Найти вероятность того, что 2 шара белого цвета.

Решение. Пусть событие А={первый шар – белый}, событие В= {второй шар– белый}. Вероятность события В зависит от того, произошло или не произошло событие А. Так, если первым вынут белый шар(Р(А)=6/10), то в урне осталось9 шаров, среди которых5 белых, поэтому Р(В/А)=5/9

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=6/10*5/9=1/3

10.Понятие независимости событий. Свойство независимости. Теорема умножения для независимых событий.

События А и В называются независимыми, если условная вероятность равна безусловной:

P (А/В) = Р(А) или Р(В/А)=Р(В)

Теорема Лемма (о взаимной независимости событий). Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A.

Пример. Монета брошена два раза. Вероятность появления герба в первом испытании(событие А) не зависит от появления или непоявления герба во втором испытании(событие В). В свою очередь выпадение герба во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким обра-зом события А и В– независимые.

Свойства:1)если Аи В – независимы,то будут независимы а)А и б)Ā и В в)Ā и

2) Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:P (A B)= P (A)*Р(В)- теорема умножения для независимых событий

3)Для того,чтобы А и В были независымыми,необходимо и достаточно,чтобы P(AB)= P(A)*Р(В)

ПРИМЕР

Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов.

Решение. Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле P(AB) = P(A)*P(B).Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):P (AB) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,8 = 0,48.

4)Говорят,что А,В,С – независимы в совокупности,если Р(АВ)=Р(А)*Р(В), Р(АС)=Р(А)*Р(С), Р(ВС)=Р(В)*Р(С), Р(АВС)=Р(А)*Р(В)*Р(С)

11.Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить

вместе с одним из событий H1,H2,…Hn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1,H2,…Hn соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=∑Р(Hi)*P(A|Hi),Нi-гипотезы.

Пример. В первом ящике содержится5 деталей, из которых3 детали стандартные, во втором– 6 деталей, из которых5 – стандартные. Из наудачу взятого ящика берут деталь. Какова вероятность, что эта деталь– стандартная?

Решение. Пусть событие А = {вынута стандартная деталь}. Возможны две гипотезы: H1={выбран первый ящик}, H2={выбран второй ящик}.

Так как выбор каждого ящика– события равновозможные, то P(H1)= P(H2) = 1/2 .

Найдем условные вероятности события А при наступлении каждой из гипотез:

P(А/Н1)=3/5,Р(А/Н2)=5/6

По формуле полной вероятности:Р(А)=1/2*3/5+1/2*5/6=43/60