III. Алгебра матриц.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

К оэффициенты при неизвестных системы (3.1) имеют вид матрицы:

Н еизвестные i=1,…,n и свободные члены j=1,…,m можно рассматривать как координаты векторов или как одностолбцовые матрицы:

Левую часть системы можно рассматривать либо как произведение матрицы А на вектор , либо как произведение матрицы А на матрицу Х. Принимая равенство матриц поэлементно, либо равенство векторов покоординатно, систему (3.1) можно записать либо в векторно-матричном виде

(3.3)

либо в матричном виде

АХ=В (3.4)

Истолкование системы (3.1) в виде (3.3) или (3.4) зависит от того, что выражает система (3.1) как математическая модель и какую задачу решает.

Легко видеть, что умножение матрицы на вектор или матрицу Х можно выполнить лишь тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу элементов в столбце множителя-матрицы, или размерности вектора . При этом число столбцов матрицы множителя может быть меньше одного. В этом случае надо поочередно умножать матрицу А на столбцы матрицы В. Таким образом, можно перемножать лишь матрицы А размерности (m x n) на матрицы В размерности (n x k). В результате получается матрица С размерности (m x k), называемая произведением матриц А и В и обозначается С=АВ, элементы которой получаются в результате скалярного умножения i-й строки матрицы А и j- го столбца матрицы В т. е. :

.

Пример: найти произведение матриц А и В

Из правила умножения матриц видно, что если существует АВ, то это еще не значит, что существует ВА. Для квадратных матриц (n x n) существуют АВ и ВА, но, как правило, АВ ВА.

Отметим также следующие свойства матричного умножения:

1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. А(ВС)=(АВ)С

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е. (А+В)С=АВ+ВС, С(А+В)=СА+СВ

3. λ(АВ)=(λА)В

4. Матрицу А можно умножать саму на себя ( только в том случае , если она квадратная) при этом:

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Рассмотрим матричное уравнение (3.4):

АХ=В

В скалярном случае оно имеет вид ax=b, откуда x=b/a или x= . По аналогии для (3.4) запишем:

(3.5)

Пусть матричному уравнению (3.4) соответствует система :

Если , то система однозначно разрешима и ее решение можно найти по формулам Крамера:

Аналогично найдем :

Это решение можно записать в виде:

(3.6)

Сравнивая (3.5) с (3.6), устанавливаем аналитическое выражение для :

(3.7)

Матрица называется обратной матрицей матрицы А, а формула (3.7) дает правило ее построения: чтобы найти матрицу , обратную матрице А, необходимо:

1. Транспонировать матрицу А.

2. Заменить элементы матрицы ее алгебраическими дополнениями, деленными на detA.

Замечание. Если определитель матрицы равен нулю, то не существует. Такие матрицы называются вырожденными. Поэтому построение матрицы следует начинать с вычисления определителя, чтобы убедиться, что .

Решение, найденное по (3.6) называют матричным способом решения системы. Он оправдан для задач, в которых рассматривается серия систем . Для единичной системы он более трудоемкий, чем, например, метод Гаусса.

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ.

Рассмотрим векторно-матричное уравнение

(3.8)

Это равенство можно рассматривать как отображение

A

т. е. равенство (3.8) аналогично функциональной зависимости y=f(x), определяющее отображение

f

X Y с областью определения x или D(x) к множествам значений y или E(x). Множества D(x) и E(x) состоят из вещественных чисел. В отличие от этого в отображении (3.8) областями определения и областями значений , называемых соответственно множество преобразований и множество образов, являются векторы из некоторых линейных пространств . Поэтому соотношение (3.8) можно рассматривать как отображение пространства .

А

(3.9)

Если матрица А квадратная, то m=n – размерности совпадают .В этом случае говорят, что (3.9) отображает отображение в себя:

А

В этом случае в (3.8) вектор и вектор .

Во многих приложения большой интерес имеет случай, когда в отображении (3.8) векторы колинеарны, т. е. . В этом случае вектор называется собственным вектором матрицы А и может быть найден из уравнения

(3.10)

Скаляр называется собственным числом, соответствующим вектору . Можно первичным считать собственные числа с соответствующими им векторами . Поэтому частотпросто говорят о собственных числах и собственных векторах матрицы. Рассмотрим задачу о нахождении собственных чисел и собственных векторов матрицы А.

В этом случае векторно-матричному уравнению (3.10) соответствует система:

или:

(3.11)

Система (3.11) нетривиально совместна тогда и только тогда, когда ее определитель =0, или

(3.12)

Уравнение (3.12) называется характеристическим уравнением, соответствующим матрице А. В матричном виде оно имеет вид:

(3.13)

Если разложить определитель (3.12) в строку, то получим кубическое уравнение:

(3.14)

Легко проверить, что имеют место равенства:

. Величину также называют следом матрицы и обозначают

Совокупность всех собственных чисел называется спектром матрицы А. В соответствии с теоремой Виета:

Найдя корни уравнения (3.14), поочередно подставим их в систему (3.11) и запишем решения по известным формулам однородной системы: так для имеем:

Мы получили первый собственный вектор матрицы А - , аналогично находим

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ.

Рассмотрим прямой круговой конус, являющийся частью конической поверхности, образованной вращением прямой, называемой образующей, так, что одна ее точка – вершина конуса остается неподвижной, а другая – скользит вдоль окружности, называемой направляющей. Обозначим образующую конуса через l, а высоту через h. Проведем следующие сечения конуса:

1. Перпендикулярно h – оси конуса.

2. Параллельно образующей l.

3. Параллельно h.

4. Под углом φ по отношению к h.

l

h

Сечение (1) есть окружность, например основание конуса.

Сечение (2) есть парабола.

Сечение (3) есть ветвь гиперболы.

Сечение (4) есть эллипс.

Эти линии исчерпывают все возможные сечения конической поверхности. Выведем в системе координат OXY простейшие, или канонические уравнения этих линий.

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная.

М

Из определения эллипса можно вычертить его следующим образом. Возьмем окружность в виде нерастяжимой нити. Воткнем булавки в точки ; Натянем карандашом нить так, чтобы образовался . Оставляя натянутой нить будем перемещать подвижную точку М. Ее траектория и будет эллипсом.

М(x,y)

Поместим теперь эту конструкцию в декартову систему координат OXY так, чтобы эллипс был симметричен осям координат. Обозначим - фокусное расстояние. Тогда координаты фокусов равны и . Пусть точка М(x,y) с текущими координатами перемещается так, чтобы , где - левый фокальный радиус-вектор, а - правый. Найдем длины :

Возведя в квадрат, получим:

Откуда . Еще раз возведем в квадрат:

Т. к. в , то a>c. Обозначим

Поделив равенство на , получим каноническое уравнение эллипса:

(5.1)

Найдем точки пересечения эллипса с осями. Пусть у=0, тогда х= ; если х=0, то у= . Эти точки (-а,0); (а,0); (0,b); (0,-b) называют вершинами эллипса, а отрезки, соединяющие противоположные вершины – осями.

2а – большая ось эллипса, а - большая полуось;

2b –малая ось эллипса, b - малая полуось;

2с – фокусное расстояние. Эти величины связаны соотношением:

(5.2)

Уравнения фокальных радиусов эллипса имеют вид:

Приведем эти уравнения к более простому виду. Имеем: .

Присоединив уравнение =2а, получим систему:

Отсюда имеем :

. Обозначим: . Тогда уравнения фокальных радиусов эллипса принимают вид: . Величина называется эксцентриситетом эллипса. При с=0, и эллипс вырождается в окружность, а при увеличении эксцентриситета эллипс вытягивается вдоль большой оси.

Директрисы эллипса.

Рассмотрим уравнение эллипса:

и уравнение прямой х=m. Обозначим

через d расстояние любой точки эллипса

от этой прямой.

Рассмотрим отношение:

пусть тогда . Таким образом, отношение расстояния от любой точки до фокуса к расстоянию от этой точки до прямой не зависит от положения точки на эллипсе. Прямая , обладающая этим свойством, называется директрисой эллипса. Очевидно, эллипс имеет две директрисы: правую и левую .

Параметрическое уравнение эллипса.

В

Рассмотрим две окружности с радиусами a>b с центром в начале координат и радиус-вектор ОА, пересекающий окружности в точках А и В перпендикулярно к осям OX и OY соответственно до пересечения их в точке М. Будем вращать радиус ОА в положительном направлении начиная от положения на оси OX . При повороте на угол t координаты точки М равны: x=acost y=bsint. Действительно, исключив параметр t из системы:

Получили каноническое уравнение эллипса.

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Y

М(x,y)

Х

Пусть и - фокусы гиперболы. По определению = const. Примем =2а. Проделав выкладки, аналолгичные выкладкам при выводе канонического уравнения эллипса, с учетом того, что c>a , получим каноническое уравнение гиперболы:

(5.3)

Полагая у=0, получим , х=0 , . Величины 2а и 2b называют соответственно вещественной и мнимой осями гиперболы, а а и b - ее полуосями.

Асимптоты гиперболы.

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой L графика функции y=f(x), если расстояние между точками l иL стремится к нулю при неограниченном удалении графика от начала координат.

Запишем уравнение гиперболы в виде:

Покажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.

Рассмотрим разность

Числитель дроби – число. Знаменатель стремится к если , значит при т. е. графики гиперболы и прямой неограниченно сближаются. Существование асимптот доказано. Зная полуоси гиперболы можно вычертить ее ветви следующим образом:

1. Проведем прямые и .

2. В образовавшемся прямоугольнике проведем прямые, проходящие через его диагонали.

Через вершины (a,0); (-a,0) проведем ветви гиперболы, асимптотически приближающиеся к прямым .

Замечание. Для построения эллипса также полезно построить указанный прямоугольник. Но кривую эллипса надо вписать в этот прямоугольник.

Фокальные радиусы и директрисы гиперболы.

Повторяя выкладки, проведенные для эллипса, легко получаем уравнения фокальных радиусов :

- правый радиус;

- левый радиус; а также уравнения директрис:

- правая директриса;

- левая директриса;

Здесь , т. к c>a.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Пусть директриса l и фокус F удалены от начала координат, и директриса перпендикулярна оси ОХ. Если расстояние между фокусом и директрисой равно p, то уравнение директрисы , координаты фокуса F . Возьмем точку M(x,y) с текущими координатами. Обозначим (M,F)=r, (M,l)=d, по определению r=d. Имеем:

Это и есть каноническое уравнение параболы. Можно получить еще канонические уравнения парабол, проходящих через начало координат:

Точка (0,0) для данных парабол будет общей. Ее называют вершиной, из вершины выходят линии, симметричные полуосям координат, называемые ветвями парабол.

Для параболы ее ветви направлены вверх.

Для параболы ее ветви направлены вниз.

Для параболы ее ветви направлены вправо.

Для параболы ее ветви направлены влево.

В отличие от гиперболы и эллипса, имеющих центр симметрии, парабола центра симметрии не имеет. Поэтому эллипс и гиперболу

называют кривыми центрального типа, а параболу - кривой нецентрального типа.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

В декартовых координатах положение точки на плоскости фиксируется перпендикулярами, проведенными из точек х и у, к осям координат.

M(r, φ)

r

y x

φ

В полярных координатах на плоскости задан луч, выходящий из полюса. Длина радиуса на луче принимает значения . При повороте радиуса на угол φ его конец опишет дугу окружности радиуса r. Угол φ может принимать значения φ . Так как луч и дуга могут пересекаться в единственной точке, то величины r и φ фиксируют на плоскости единственную точку М(r, φ). Если за полярную ось принять полуось ОХ. То между декартовыми и полярными координатами можно установить взаимосвязь:

(5.5)

Соотношения (5.5) можно считать формулами перехода от полярных координат к декартовым и обратно.

С формулируем единое определение конических сечений. Эллипсом, гиперболой, параболой, называется геометрическое место точек, для которых отношение от данной точки, называемой фокусом, до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная называемая эксцентриситетом. Выведем исходя из этого определения общее уравнение кривых.

M(φ,r)

φ

O

Проведем из полюса О перпендикуляр до пересечения с кривой в точке С. Примем ОС=р в качестве параметра кривой. Пусть АМ=d. По определению , АМ=АВ+ВМ=DC+BM. Но ВМ=rcosφ, (по определению). Имеем или r=p+εrcosφ, r(1-εcosφ)=p. Окончательно имеем : (5.6) .

Исследуем форму кривой (5.6) в зависимости от эксцентриситета ε.

Если ε=0, то r=p. Это уравнение окружности радиуса р с центром в полюсе полярной системы координат (oφr). Если 0< ε<1, то знаменатель 1- εcosφ , т.к. cos , а . При всех r существует и конечен. Уравнение (5.6) в данном случае определяет эллипс.

Если ε=1, то 1-cosφ=0, при φ=0. Значит при . Одна из вершин эллипса уходит в бесконечность, т. е. эллипс разрывается и вырождается в параболу. Если ε >1 , то 1-εcosφ=0 при Это соотношение определяет два луча , вдоль которых . Кривая представляет собой гиперболу, а лучи являются ее асимптотами.

Общее уравнение кривой второго порядка.

Рассмотрим уравнение:

(5.7)

Здесь множители 2 введены для удобства.

Введем обозначения: .

Тогда уравнение (5.7) примет вид:

Ф(х,у)+L(x,y)+ =0 (5.8)

Ф(х,у) называют квадратичной формой, а L(x,y) – линейной формой.

Уравнения (5.7)- (5.8) определяют некоторую кривую в системе координат в OXY, которой соответствует ортонормированный базис . Поставим задачу отыскания такой системы координат , т. е. нового базиса чтобы уравнение кривой в новой системе координат имело простейший, или канонический вид. Задачу будем решать в два этапа.

1. Найдем промежуточную систему координат, в которой будет отсутствовать линейная форма L(x,y). Этого можно достичь параллельным переносом осей координат: . Имеем:

После преобразований получим:

Подберем так, чтобы скобки при обращались в ноль:

Числа являются решением системы, уравнения которой получают дифференцированием уравнения (5.7) сначала по х, а потом по у с последующим сокращением на 2:

(5.9)

Если , то система (5.9) имеет единственное решение и уравнение (5.7) принимает вид:

(5.10)

Где , т. е. является результатом подстановки в уравнение (5.7) решения системы (5.9) .Обозначим и займемся изучением квадратичной формы

(5.11)

Уравнение (5.10) не изменится при замене х на –х и у на –у. Поэтому кривая, определяемая этим уравнением называется кривой центрального типа. Геометрический смысл преобразований состоит в том, что начало системы координат совпадает с центром симметрии кривой.

Если определитель системы (5.9) , то система не имеет решения, а кривая, определяемая уравнением (5.7) не имеет центра симметрии. Такие кривые называют кривыми нецентрального, или параболического типа .

Перепишем уравнение (5.11) в виде:

Обозначим (5.12)

Тогда форма (5.11) примет вид:

(5.13)

Будем считать (х, у) и координатами векторов . Равенство (5.13) примет вид:

Из системы (5.12) следует, что связаны равенством:

(5.14)

Теперь квадратичную форму можно записать в векторно-матричном виде относительно базиса :

(5.15)

Пусть задан новый базис . Разложим вектор по этому базису . Очевидно , квадратичная форма f в этом базисе будет иметь другой вид. Выберем качестве базиса единичные собственные векторы матрицы А. Особенностью этой матрицы является то, что ее элементы, расположенные симметрично главной диагонали, равны. Такие матрицы называют симметричными, а преобразования плоскости, осуществляемые по формулам (5.12) – симметричными.

Покажем, что матрица А квадратичной формы (5.14) всегда имеет вещественные различные собственные числа, а соответствующие им собственные вектора ортогональны. Запишем характеристическое уравнение матрицы А:

(5.16)

Дискриминант трехчлена (5.16) имеет вид:

Откуда следует, что вещественны и различны.

Для доказательства ортогональности собственных векторов матрицы А проверим предварительно равенство , где - некоторые вектора.

, или в векторной записи.

Аналогично имеем:

Сравним величины :

Т. к. правые части равны, равны и левые.

Замечание: Доказанное свойство имеет место и для несимметричной матрицы, но оно имеет вид .

Пусть собственные числа квадратичной формы, а соответствующие им собственные вектора.

Вычитая равенства получим: . Т. к. , то =0. Следовательно, .

Таким образом, векторы можно принять в качестве ортонормированного базиса.

Запишем вектор квадратичной формы в базисе . Подставляя в (5.15), получим:

Таким образом, Ф(х,у)= = , т. е. в новом базисе, построенном из собственных векторов матрицы А квадратичная форма имеет канонический вид.

СХЕМА ПРИВЕДЕНИЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ 2-го К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ.

Выполним с общим уравнением

(5.17)

следующие операции:

1. Продифференцируем по х и по у уравнение, и, сократив равенства на 2, запишем из них систему:

Если , то найдем решение . Параллельным переносом осей координат OX и OY получим новые оси с началом в точке .

2. Запишем уравнение (5.17) в новой системе координат:

(5.18)

где

3. Составим матрицу квадратичной формы (5.18) и найдем ее собственные числа и собственные вектора .

4. Пронормировав собственные вектора , получим базис Изобразим базис в базисе . Нумерацию надо выбирать так, чтобы базис получался из базиса кратчайшим вращением в плоскости относительно центра .

5. Изобразим систему координат , соответствующую новому базису .

6. Запишем квадратичную форму в виде .

7. а) Если знаменатели отрицательны, то уравнение (5.17) определяет мнимое место точек (мнимый эллипс) ; при - точку.

б) Если знаменатели положительны, то, полагая , получаем каноническое уравнение эллипса , по которому вычерчиваем кривую в системе координат .

в) Если , то приходим к уравнению гиперболы и вычерчиваем ее в новой системе координат. Если , то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ КРИВОЙ НЕЦЕНТРАЛЬНОГО ТИПА.

Пусть определитель матрицы квадратичной формы Δ(А)=0. Это значит, что квадратичная форма есть точный квадрат. Действительно . Квадратичная форма имеет вид :

. Общее уравнение кривой можно записать в виде:

(5.19)

Характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы имеет вид:

Пусть - единичные собственные вектора, соответствующие собственным числам , координаты которых находим из системы:

Пусть эти координаты соответственно равны: . Переходя к новым координатам по формулам :

Получим вместо (5.19) уравнение :

, которое можно преобразовать к виду:

Заменив , уравнению можно придать форму , которое представляет каноническое уравнение параболы.

Замечание. Так как в нумерации собственных чисел возможна ошибка, отчего может быть неправильный выбор направления осей координат , то полезно найти точки пересечения кривой со старыми осями координат:

1. Имеем 2 точки пересечения

2. Имеем 2 точки пересечения

Эти опорные точки кривых помогают уточнить их расположение в системе координат OXY.