§3. Матрицы и определители.

Множество чисел, выписанных в виде прямоугольной таблицы из (m х n) чисел, называется матрицей :

при этом числа называется элементами матрицы, произведение (m х n) – размерами матрицы. Индексы i и k обозначают соответственно номера строк и столбцов. Матрица В с элементами тех же размеров, что и А, равна матрице А тогда и только тогда когда равны соответствующие элементы обеих матриц:

А=В если

Если в матрице А размером (m x n) сделать ее строки столбцами с тем же самым номером, то получим матрицу

называемую транспонированной к А матрицей.

Матрицы одного и того же размера можно складывать результатом сложения матрицы А и В является матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: . Легко видеть, что

А+В=В+А,

(А+В)+С=А+(В+С).

Произведением числа λ на матрицу А называется матрица, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А. Таким образом λА=А λ.

Пример:

Найти матрицу С= λА+μВ

Если m (количество строк матрицы) равно n (количеству столбцов), матрица называется прямоугольной, а если m=n – квадратной. Квадратной матрице А можно по определенному правилу поставить в соответствие некоторое число, обозначаемое

Δ(A)=det(A)= (1.8)

Называемое определителем n-го порядка матрицы А. Правило вычисления определителя n-го порядка введем рекуррентно. Выберем в (1.8) элемент . Минором элемента определителя Δ(A) n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный в остатке после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент .

Пример:

Алгебраическим дополнением элемента называется число

(1.9)

где i–номер строки, k- номер столбца.

Теорема разложения.

Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов какого либо ряда на их алгебраические дополнения.

Замечание 1. Доказательство теоремы разложения опускаем.

Замечание 2. От выбора строки или столбца величина не изменится, т.е при транспонировании матрицы значение ее определителя не изменится.

Для определенности возьмем первую строку, тогда:

Δ(A)= (1.10)

Данная теорема позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению суммы n определителей (n-1)-го порядка. Рассмотрим вычисление определителя 2-го порядка:

(1.11)

Определитель 3-го порядка:

(1.12)

Произведения элементов в формуле (1.12) называются членами определителя. В каждом члене определителя 3 сомножителя. Каждый член определителя содержит элементы, не принадлежащие одной строке или столбцу. Сказанное легко обобщается на определитель любого порядка. Каждый определитель содержит элементов и n! членов. Ввиду громоздкости формулы (1.12) существует ряд способов разложения определителя 3-го порядка в строку. Один из них – метод Саррюса (правило треугольников). Для составления членов определителя, выписанных со знаком «+» и «-» соответственно составим члены определителя из элементов по указанной схеме:

«-» «+»

○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○

При этом диагонали идущие сверху вниз называют главными, а снизу вверх – побочными.

Если предпочтительнее использовать теорему разложения, то вычиcление множителя для составления алгебраического дополнения удобнее выбирать по схеме:

Это чередование знаков сохраняется и для определителей более высоких порядков (для которых в основном и используется теорема разложения).