Процесс ортонормирования базиса

Во всяком пространстве (разностью больше 0) существует ортонормированный базис. Если ,- произвольный базис подпространства L, то в L существует ортонормированный базис, состоящий из векторов вида:

Сначала строится ортогональный базис вида

Которые определяются последовательно, для этого нужно подобрать коэффициенты так, чтобы было соблюдено требование ортогональности векторов , т.е.

Если все коэффициенты определить по этой формуле, то векторы , ,… будут попарно ортогональны.

Положим и вектора попарно ортогональны.

Данный процесс построения векторов или называется процессом ортогональности системы векторов

Пример:

тогда

Пронормируем полученные вектора, т.е. заменим векторы на

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

Векторным произведением векторов называется вектор , который обозначается , удовлетворяющий следующим условиям :

1. Это значит, что вектор перпендикулярен плоскости параллелограмма, образованного векторами .

2. Длина вектора численно равна площади этого параллелограмма, т. е. (Не путать это условие с определением вектора!!!)

3. Кратчайший обход векторов из конца вектора виден против часовой стрелки.

Замечание. Векторы , удовлетворяющие условию 3 образуют правую тройку векторов. В приложениях иногда вводят левую тройку(т. е. определяют положительный обход по часовой стрелке).

Геометрическая интерпретация векторного произведения.

Для геометрических векторов: при построении вектора совмещаем начала векторов ; достраиваем векторы до параллелограмма и восстанавливаем к его плоскости перпендикуляр. На нем откладываем вектор так чтобы:

а) Три вектора образовывали правую тройку.

б) Считаем (условно), что длина искомого вектора выражается тем же числом , что и площадь параллелограмма.

Рассмотрим формулы перемножения орт по правилу векторного произведения. При этом положительным будет обход в последовательности , а отрицательным - . Это значит, что . Очевидно, что это свойство выполняется на любую пару векторов. т. е. . Это свойство называют свойством антикоммутативности. Остальные свойства совпадают со свойствами скалярного произведения. Это означает, что линейные комбинации также можно перемножать по правилу «многочлен на многочлен», но при этом необходимо следить за порядком сомножителей. При этом полезно использовать следующее правило:

«+»

Запишем строку i, j, k, i, j, k, ….

«-»

Двигаясь по строке слева направо , получаем результат векторного умножения двух орт. Например:

и т. д.

Пусть требуется перемножить векторы . Запишем их в виде линейной комбинации:

Имеем:

Учитывая, что , получим:

(2.9)

Учитывая теорему разложения, получим легко запоминающуюся формулу:

(2.10)

При решении задач нужно чаще нужно находить координаты вектора по координатам векторов Из (2.9) имеем:

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Рассмотрим три вектора . Перемножив по правилу векторного произведения, получим новый вектор. Умножив его на по правилу скалярного произведения, получим число, называемое смешанным произведением векторов . Выведем формулу смешанного произведения:

;

.

Перемножая скалярно, получим:

(2.11);

Геометрическая интерпретация смешанного произведения произведения .

Из векторного произведения имеем , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах , причем . Перемножим скалярно векторы :

h

Построим параллелепипед на векторах . По смыслу - площадь основания, а - высота этого параллелепипеда . Таким образом, смешанное произведение трех векторов выражает численно объем параллелепипеда, построенного на векторах – сомножителях. Т. к. последовательность ребер можно менять (не нарушая правой ориентации векторов), т ( . Поэтому, не указывая, какие векторы умножаются скалярно, а какие векторно, можно смешанное произведение записать в виде .

Из свойств определителя и формулы (2.11) следует, что

1. и т. д. Т. е. смешанное произведение дает величину объема параллелепипеда со знаком «+» или «-» в зависимости от ориентации векторов-сомножителей. Поэтому формулу объема параллелепипеда, построенного на векторах- сомножителях надо записывать в виде: .

2. Пусть Тогда .

3. Пусть . Геометрически это означает, что параллелепипед, построенный на этих векторах имеет нулевой объем, т. е. данные векторы расположены в одной плоскости. Векторы параллельные одной плоскости называют компланарными . Таким образом - условие компланарности векторов. Очевидно, что такие векторы линейно зависимы в . Если , то векторы линейно независимы и, следовательно они образуют базис в .

4. Формулы Крамера. Запишем систему

В векторной форме:

где

Умножим скалярно на :

Аналогично можно получить формулы