Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: пусть система (1) совместна, т.е. имеет решение . Это решение будет также решением векторного уравнения из данного равенства свидетельствует, что линейно выражается через вектора . Следовательно не нарушая ранга системы векторных столбцов расширенной матрицы мы можем удалить из нее . Тогда получим матрицы А – таким образом .

Обратно если , то в матрице должен существовать по крайней мере один минор n-го порядка отличный от 0. Этот определитель будет очевидно и . Без ограничения общности можно допустить, что находится в левом верхнем углу матриц и ( в противном случае этого можно добиться перестановкой строк и столбцов). Тогда первые строк матриц и будут линейно независимы, а остальные будут линейно выражаться через них. Поэтому можно ограничиться первыми уравнениями.

Рассмотрим два возможных случая:

а) число уравнений равно числу неизвестных причем определитель этой системы тогда система имеет единственное решение определяемое по формулам Крамера;

б) (число уравнений меньше числа неизвестных).

Перенесем неизвестные которые называют свободные получим

Данную систему можно разрешить относительно и придавая свободным неизвестным произвольные значения получим соответствующие значения . Таким образом для случая система имеет бесконечное множество решений.

Решения получаемые при придании свободным переменным нулевых значений называется базисными. Термины базисное решение отражает тот факт, что столбцы матрицы с 1-го по 2 образуют базис пространства .

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему

Или в матричной форме

Данная система всегда имеет решение, т.к. при справедливо равенство: вектор всегда представляет собой тривиальное (нулевое) решение. На практике вызывает интерес случай, когда существуют и нулевые решения, если , то неизвестным можно придавать произвольные значения и в этом случае всегда будет существовать не нулевое решение пусть решение для т.к. для любого скаляра то также является решением.

Далее если и являются решением, то также являются решением. Действительно то таким образом множество всех решений уравнения образует подпространство пространства . Размерность этого подпространства равна .

Множество базисных векторов, пораждающих данное подпространство называется фундаментальной системой решений уравнения . Поскольку в этом случае мы имеем векторов в фундаментальной системе то может быть образовано бесконечное число различных фундаментальных систем вида , где - какое-либо решение, обычно получают выбирая в качестве свободных векторов единичные.

Пример: найти фундаментальную систему решений

Ранг матрицы системы в данном случае таким образом

Декартова система координат.

Рассмотрим систему линейно независимых векторов , которые будем называть ортами. Эти векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Убедимся, что межу ортами и декартовой системой координат (0, x, y, z) имеется тесная взаимосвязь. Прямая превращается в числовую ось, если на ней задать единицу масштаба и направление. Если задать три орта, то:

z

y

x

1. Выбраны три прямые, определяемые ортами .

2. Выбраны направления, определяемые этими ортами.

3. Выбрана единица масштабов на каждой оси.

Очевидно, что направление ортов определяет направление числовых осей (x, y, z). Кроме того , единичные орты можно принять за единичные масштабы на осях (0x, 0y, 0z).

Пусть дана точка М(x, y, z) в координатной плоскости (0, x, y, z). Тогда точке М можно поставить в соответствие вектор ОМ= с координатами (x, y, z).

z M(x, y, z)

0

y

z

разложив вектор по базису получим

Для краткости будем записывать:

Таким образом, можно установить соответствие между точками М(x, y, z) и векторами .

Евклидовы пространства.

Линейные пространства являются удобным аппаратом для изучения систем линейных уравнений. Если ввести для векторов, кроме линейных операций еще операции умножения, то круг задач, которые можно решать с применением векторов значительно расширится. В частности появится возможность решать задачи о нахождении длин, углов, площадей и объемов.

Прежде всего введем операцию скалярного умножения. В этом случае двум векторам ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением и обозначается . Для скалярного произведения имеют место следующие аксиомы :

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Линейное пространство, в котором введена операция скалярного умножения векторов с вышеперечисленными аксиомами, называется евклидовым пространством.

Правило умножения векторов вводится в зависимости от их природы.

Определение:

Скалярным произведением векторов называется число определяемое произведением длин (модулей) этих векторов, умноженных на косинус угла между ними и обозначается :

(2.4)

Геометрический смысл скалярного произведения состоит в том, что он определяет произведение длины первого вектора и проекции второго вектора на первый:

Аксиомы скалярного произведения, введенные в евклидовом пространстве, легко проверяются

Например:

следует из того ,что ;

Из формулы (2.4) видно, что если

Рассмотрим скалярное произведение векторов, заданных в декартовой системе координат (0, X, Y, Z) . Отложив на осях 0X, 0Y, 0Z единичные векторы получим базис из этих векторов, связанный с координатной системой. Возьмем два вектора , начало которых совпадает с началом координат, а концы этих векторов имеют координаты соответственно

X

Y

Z

Проекции этих векторов на оси координат соответственно равны этим же числам:

и т. д. Величины называют компонентами вектора , а числа x, y, z – координатами в ортогональной системе координат. Сумма трех компонент вектора есть линейная комбинация вектора . Найдем формулу скалярного произведения для векторов в ортогональной системе координат. Запишем эти вектора в виде линейной комбинации:

Аксиомы евклидова пространства позволяют перемножать линейные комбинации для по правилу умножения многочлена на многочлен (для краткости будем писать ):

Т. к. косинусы между одноименными ортами равны 1 , а между разноименными равны 0, то получим:

(2.5)

Следствия формулы

1. Длина вектора. Учитывая, что ;

2. Расстояние между двумя точками . Поставим в соответствие т.

Y

X

Z

(2.6)

3. Угол между векторами. Сравнивая (2.4) и (2.5) имеем:

(2.7)

4. Если . Отсюда имеем условие перпендикулярности векторов:

(2.8)

5. Найдем углы вектора с координатными осями X,Y, Z. Учитывая, что орты имеют координаты (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) соответственно, получим:

называются направляюшими косинусами вектора .

Они связаны между собой легко проверяемыми соотношениями:

. Это равенство, называемое равенством Парсеваля, для двумерного случая представляет собой известное тождество: действительно: .

Для n-мерного пространства также можно ввести систему орт и соответственно направляющие косинусы вектора для которых также будет выполняться равенств Парсеваля: