II. Векторы . Линейные операции.

Вектор – неопределяемое понятие в математике, как, например, точка, прямая и т. д.

Чтобы оперировать понятием вектора необходимо ввести линейное пространство, наделенное рядом аксиом, относительно его элементов – векторов. Обозначим векторы , и введем понятие величины другой природы – скаляры - которые будем обозначать буквами , …

Назовем линейным пространством множество L, а его элементы – векторами если

1. Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам из L сопоставляется элемент, называемый их суммой и обозначаемый

2. Задан закон (операция умножения на скаляр), по которому любому элементу из L и скаляру (числу) сопостовляется элемент из L, называемый произведением на и обозначаемый

3. Для любых элементов из L и для любых скаляров выполнены следующие аксиомы

1. Для двух любых элементов выполнены условия:

(свойство переместительности).

2. (свойство сочетательности).

3. Пусть λ - скаляр, - векторы, тогда: .

4. Пусть - скаляры, - вектор. Тогда

5. Пусть - скаляры, - вектор. Тогда .

6. Пусть λ=1, тогда .

7. Существует нулевой вектор , такой что .

8. Существует вектор, противоположный вектору , , такой что .

Действия, указанные в п. 1-8 называют линейными операциями над векторами. Перечисленные аксиомы определяют линейное пространство векторов, т. е. после их введения можно дать понятие вектора: вектор – это элемент линейного пространства.

В такой трактовке под понятие вектора подходят многие понятия математики:

1. Функция – легко проверить выполнимость всех аксиом.

2. Направленные отрезки (если для них ввести операцию сложения так, чтобы выполнялись аксиомы). Таким правилом может быть правило параллелограмма

или правило замыкания ломаной

И спользуя понятие противоположного вектора можно определить операцию вычитания векторов:

Такие векторы называют геометрическими векторами.

3. Упорядоченные множества чисел . Для таких векторов линейные операции вводят поэлементно:

Легко проверить, что для указанных векторов также выполнены аксиомы линейного пространства. В отличие от геометрических, такие векторы называют арифметическими векторами.

Легко видеть что далеко не всякое множество векторов образует линейное пространство. Например, не удовлетворяют аксиомам 1- 8.

Пусть дана система векторов (1.1). Используя линейные операции (сложение и умножение на скаляр), удовлетворяющие аксиомам (1)-(7), можно составить линейные комбинации векторов. Так вектор есть линейная комбинация системы векторов (2.1).

Cистема векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры , не все равные нулю, такие, что

(2.2)

Если соотношение (2.2) имеет место лишь в том случае, когда все равны нулю, т. е. когда , то систему векторов называют линейно независимой.

Cистема векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда какой-либо из векторов является линейной комбинацией других. По определению нулевой вектор образует систему линейно зависимых векторов. Действительно если в систему линейно независимых векторов включить , то система превратится в линейно зависимую. Пусть вектора линейно зависимы, т. е.

, перепишем это выражение в виде: (2.3)

Пусть вектора имеют вид . Тогда векторное равенство (2.3) можно записать в виде:

Два линейно-зависимых вектора на плоскости называются колинеарными . Для геометрических векторов это означает, что они параллельны одной прямой, а множитель k – коэффициент гомотетии, если k>1, вектор удлиняется, если k>-1 – вектор удлиняется, меняя направление на противоположное. Соответственно, если 0<k<1 - вектор сжимается, если -1<k<0 вектор сжимается, меняя направление .

Если - векторы неколинеарны. Два неколинеарных вектора образуют базис на плоскости. Возьмем любой вектор и подберем скаляры x и y такие, что . Тогда:

т. к. векторы неколинеарны определитель данной системы не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решение и вектор можно представить единственным образом в виде линейной комбинации .

При этом величины x и y будем называть координатами вектора в базисе .

По аналогии можно ввести понятие базиса в линейном 3-х мерном пространстве: любые три линейно независимых вектора образуют базис. В произвольном n- мерном пространстве базисом называется система n линейно независимых векторов.

Возьмем для простоты и рассмотрим вектор как линейную комбинацию векторов :

- это векторное равенство эквивалентно трем уравнениям для координат векторов:

Из формул Крамера следует: если определитель системы не равен нулю - данная система имеет единственное решение, т. е. вектор м ожно задать с помощью векторов единственным способом. Отсюда следует, что система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов не равен нулю.

Это легко обобщается на векторы с произвольным числом координат. С числом векторов образующих базис линейного пространства связывают понятие размерности этого пространства. Т. е. когда мы говорим, что - n-мерное линейное пространство это значит, что его базис состоит из n линейно-независимых векторов.