§5.Однородная система 2-х уравнений с 3-мя неизвестными.
Рассмотрим следующую систему уравнений:
(1.13)
Перепишем ее в виде
(1.14)
Введем обозначения
Пусть
для определенности
, тогда в соответствии с формулами
Крамера
z-
любое вещественное число (z∈
R). Для
придания симметричности формулам
решения положим
.
тогда бесконечное множество решений
системы (1.13) примет вид:
;(t∈R)
(1.15)
Пример:
Тогда x=-5t; y=14t; z=13t, t∈ R. Подставив эти значения в исходную систему, можно убедиться в правильности этого решения.
§6.Однородная система уравнений 3-го порядка.
Однородная система уравнений 3-го порядка имеет следующий вид:
(1.16)
Рассмотрим 2 возможных случая:
а) Δ≠0, в соответствии с формулами Крамера определители неизвестных равны 0, а следовательно x=y=z=0 т.е. тривиальное решение и оно единственно. Такие системы называют тривиально совместными.
б) Δ=0, покажем, что в этом случае кроме тривиального решения система имеет и нетривиальное решение. Для этого убедимся в том, что одно из уравнений является следствием двух других. Для определенности возьмем первые 2 уравнения системы и покажем, что общее решение такой системы автоматически удовлетворяет 3-му уравнению:
Учитывая (1.15) решение этой системы имеет вид:
(t∈
R)
Подставив его в 3-е уравнение системы (1.16), получим:
Что и требовалось доказать.
§7.Неоднородные системы линейных уравнений 3-го порядка.
Неоднородная система уравнений 3-го порядка имеет следующий вид:
(1.17)
1) Если ∆≠0, то система (1.17) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
2) Если определитель системы ∆=0 и хотя бы один из определителей неизвестных системы не равен 0 , то система несовместна. Действительно, пусть ≠0, тогда х= /∆ - не имеет смысла.
Пусть
,
т.е. определитель системы и определители
неизвестных системы равны 0. Тогда
возможны 2 случая:
а) система несовместна, например
Действительно, одна и та же величина не может принимать 3 различных значения.
б) Система совместна (имеет какое-либо решение), тогда это решение не единственно.
Пусть
система (1.17) имеет решение
(1.18)
Вычитая почленно из (1.17) (1.18), получим:
(1.19)
из
(1.15) запишем общее решение относительно
Структура общего решения системы линейных уравнений.
Общее решение системы (1.17) складывается из общего решения однородной системы и какого-либо частного решения неоднородной. Нетрудно видеть, что (1.20) охватывает все ранее встречавшиеся случаи.
Пусть однородная система тривиально совместна. Полагая
получим
тривиальное решение.Пусть однородная система нетривиально совместна. Полагая
,
получим множество всех решений
нетривиально совместной однородной
системы
Если система однозначно разрешима , ее решение получается из (1.20) при t=0:
Если система неопределенна , формулы (1.20) дают множество решений неоднородной системы.
Если система несовместна, для (1.20) не существуют подходящие числа
, получим множество всех решений нетривиально совместной однородной системы