§4. Свойства определителей.

Для простоты рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка. На определители более высоких порядков они переносятся без затруднений.

1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, значение определителя также равно 0. Доказательство следует непосредственно из теоремы разложения:

2. При перестановке местами столбцов или строк определителя его знак меняется на противоположный. Доказательство: Поменяем местами две любые строки (для определенности первую и третью), тогда

( B соответствии со свойством 3 для определителей 2-го порядка)

3. Если определитель содержит 2 одинаковых столбца или строки, то он равен 0. Доказательство:

4. Если элементы какой либо строки (столбца) умножить на одно и тоже число к , величина определителя изменится в к раз. Доказательство:

Это свойство называется свойством однородности определителя относительно его строк (столбцов). Свойство однородности выражается равенством f(kx)=kf(x);

5. Пусть даны 2 определителя у которых все строки (столбцы) одинаковы кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю, у которого указанная строка (столбец) состоит из сумм соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей .Доказательство:

Данное свойство называется свойством аддитивности определителя относительно его строк (столбцов). Свойство аддитивности выражается равенством

Свойство, при котором одновременно выполняются свойства однородности и аддитивности, называется свойством линейности:

6. Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на одно и то же число его величина не изменится. Доказательство:

Приведенное правило позволяет производить тождественное преобразование определителя. Цель этих преобразований – получить возможно большее число нулей среди элементов строк (столбцов). Пусть надо вычислить определитель:

если все элементы 1-го столбца нули , то . Пусть не все элементы 1- го столбца равны нулю. Без ограничения общности можно считать: (т. к. в противном случае этого можно добиться перестановкой строк). Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , к третьей – первую, умноженную на , т. д. , к последней строке этого определителя добавим первую, умноженную на . Определитель не изменит своего значения и примет вид:

Е сли , то элементы определителя удобно находить, используя мнемоническое правило прямоугольников:

1. Единицу в левом верхнем углу объявляем ведущим элементом, а первую строку – ведущей.

2. Под ведущим элементом записываем нули в каждой строке.

3. Часть определителя справа от нулей назовем первым остатком определителя.

Элементы остатка находим, вычисляя определители 2-го порядка по одному и тому же правилу:

а) Чтобы найти искомый элемент , вычисляем определитель 2-го порядка , у которого на главной диагонали ведущий элемент и элемент, стоящий на месте искомого. Эти два элемента определяют диагональ прямоугольника.

б) Произведенные вычисления назовем 1-м шагом метода прямоугольников. С остатком определителя проводим второй шаг вычислений. Вычисления производим до тех пор, пока остаток определителя не примет вид определителя второго порядка, правило вычисления которого известно.

Пример:

Вычислить определитель Прибавим к первой строке четвертую и поменяем местами первый и четвертый столбец:

Прибавим ко второй строке первую: