Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

algebra_2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

2.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

IV.Аналитическая геометрия.

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы: точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка. Основными средствами изучения геометрических объектов являются метод координат, элементарная, векторная и линейная алгебра.

Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что на плоскости вводится прямоугольная система координат, состоящая из двух перпендикулярных прямых с указанным на них направлением и единицей масштаба. Такие прямые называют осями координат: ОХ ось абцисс и ось ОY – ось ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе координат OXY определяется проекциями точки М на оси, а числа x и y, равные длинам отрезков , называются координатами точки М в системе OXY.

Для обозначения точки М с абциссой x и ординатой y используют символ М(х,у). На координатной плоскости ОХY можно задать линию L соотношением вида F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты любой точки М, расположенной на L и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на L.

Идея метода координат состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путем изучения алгебраическими средствами уравнения F(x,y)=0. Например, вопрос о количестве точек пересечения линий, заданных уравнениями сводится к вопросу о количестве решений системы этих уравнений.

В аналитической геометрии в пространстве декартовы прямоугольные координаты вводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каждую поверхность S можно сопоставить с уравнением F(x,y,z)=0. Два уравнения , рассматриваемые совместно, задают линию L как линию пересечения поверхностей , соответствующих этим уравнениям. Например, прямую L можно рассматривать как линию пересечения плоскостей .

Переменные x и y уравнения F(x,y)=0 и x, y, z уравнения F(x,y,z)=0 называют текущими координатами соответственно линни L и поверхности S.

При изучении аналитической геометрии на плоскости (планиметрии) и аналитической геометрии в пространстве (стереометрии) сначала изучим стереометрию, т. к. для получения большинства соотношений планиметрии достаточно положить значение z (аппликаты) равным нулю. Хотя изучаемые геометрические образы предполагаются заданными в системе координат, во многих случаях изображение системы координат будем опускать, указывая лишь координаты точек и т. д.

При решении многих задач, например, при рассмотрении многоугольников, многогранников удобно стороны многоугольников и ребра многогранников рассматривать в виде векторов, а затем использовать соотношения, полученные в векторной алгебре.

Пример. Тетраэдр ABCD задан координатами вершин Найти 1) длину ребра АВ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) длину высоты DO; 6) координаты точки М|, делящей ребро АВ в отношении АМ:МВ=λ.

А O

Решение.

Принимая ребро АВ за вектор , найдем его координаты: Теперь имеем:
Примем ребро АС за вектор Имеем Учитывая, что АВС можно достроить до параллелограмма вдвое большей площади, которая численно равна получим Так как , то
Введем в рассмотрение векторы
Объем параллелепипеда в 6 раз больше объема тетраэдра, построенного на этих же векторах. Значит найдем координаты вектора . Отсюда и из формулы смешанного произведения векторов имеем: Если образуют левую тройку, тогда надо брать . Если V=0, то векторы - компланарны, т. е. А, В, С, D лежат в одной плоскости.
Из формулы имеем .
Рассмотрим векторы , являющиеся коллинеарными. Т. к. . Найдя координаты векторов , запишем вместо одного векторного равенства систему трех скалярных равенств:

откуда:

(4.1)

Формулы (4.1) определяют координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении.

ПЛОСКОСТЬ. ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Из аксиом геометрии известно, что три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость.

Пусть заданы точки , расположенные в плоскости R . Возьмем точку M(x, y, z) с текущими координатами x, y, z , которые изменяются так, что точка М остается в плоскости R ( ). Рассмотрим векторы

Т. к. , то векторы компланарны и их смешанное произведение равно нулю:

=0 (4.2)

Соотношение (4.2) называют уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Разложив определитель по первой строке получим:

(4.3)

где А= В= С=

Легко убедиться в том, что А, В, С есть не что иное, как координаты вектора, являющегося векторным произведением . Запишем (4.3) в виде:

Ax+By+Cz- и обозначим

Тогда уравнение (4.3) примет вид:

Ax+By+Cz+D=0 (4.4)

Уравнение (4.3) называют уравнением плоскости, проходящей через одну точку, а при переменных А, В и С уравнением связки плоскостей. Уравнение (4.4) называют общим уравнением плоскости. Это основной способ задания плоскости в пространстве с декартовой системой координат OXYZ. Из определения векторного произведения следует, что вектор перпендикулярен плоскости R. Поэтому вектор = (А, В, С) , где А, В, С – коэффициенты при x, y, z в общем уравнении плоскости (4.4) называется нормальным вектором плоскости. Нормальный вектор плоскости определяет расположение в пространстве множества параллельных плоскостей. Примем в качестве нормального вектора вектор единичной длины: = =( ), где - направляющие косинусы вектора . Пусть р – расстояние от плоскости до начала координат. Возьмем на плоскости R точку M(x, y, z) c текущими координатами. Радиус-вектор имеет те же координаты. Назовем его текущим радиус-вектором. При любом расположении этого вектора ( )= =р. Из формулы скалярного произведения имеем или

(4.5)

Уравнение (4.5) называется нормальным уравнением плоскости.

О М R

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ.

Перепишем уравнение плоскости в Ax+By+Cz+D=0 в виде или обозначим Тогда уравнение плоскости примет вид:

(4.6)

Уравнение (4.6) называют уравнением плоскости в отрезках. Выясним геометрический смысл параметров a, b, и с. Пусть y=z=0, тогда x=a; т. е. точка А(а,0,0) есть точка пересечения плоскости с осью ОХ. Аналогично устанавливаем, что точки В(о, b, 0) и С(0, 0, с) являются точками пересечения плоскости с осями OY и OZ. Прямые, по которым плоскость R пересекает координатные плоскости, называют следами плоскости в системе координат. Они помогают наглядному представлению о расположении плоскости относительно системы координат.

Пример : изобразить плоскость 4x-3y+6z-12=0 в системе координат OXYZ.

! ! ! ! Z

Приведем общее уравнение плоскости к уравнению плоскости в отрезках:

; отложим числа 3;-4;2 на осях координат и, соединяя их получаем следы плоскости. Эти следы и позволяют представить расположение плоскости , т. е. считать их расположением плоскости.

НЕПОЛНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть в общем уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 свободный член отсутствует, т. е. уравнение имеет вид : Ax+By+Cz=0. Т. к. этому уравнению удовлетворяет решение (0, 0, 0), то плоскость проходит через начало координат.

Рассмотрим теперь такое неполное уравнение плоскости: By+Cz+D=0. Нормальный вектор этой плоскости =(0, В, С) расположен в координатной плоскости OYZ. Следовательно, легко доказать отсутствие в общем уравнении плоскости текущей координаты x означает, что плоскость параллельна оси ОХ. Аналогичный смысл имеет отсутствие в общем уравнении плоскости текущих координат y и z.

Если в уравнении плоскости отсутствует еще и свободный член D , т. е. плоскость проходит через начало координат, то она не просто параллельна координатным осям, а проходит через эти оси. Пусть в общем уравнении плоскости отсутствуют две текущие координаты. Например, А=0 и В=0, т. е плоскость имеет уравнение Сz+D=0 или z= . Нормальный вектор плоскости z=m имеет координаты (0, 0, 1). Вектор =(0, 0, 1) расположен на оси OZ.

Y .

Рассмотрев плоскости Ax+D=0, By+D=0 приходим к выводу: если в неполном уравнении плоскости присутствует одна текущая координата, то плоскость перпендикулярна той оси, текущая координата которой присутствует в уравнении плоскости. Простейшие уравнения x=0, y=0, z=0 определяют уравнения самих координатных плоскостей:

x=0 определяет плокостьOYZ

y=0 определяет плокостьOXZ

z=0 определяет плокостьOXY.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛСКОСТЕЙ.

Рассмотрим плоскости , заданные уравнениями:

Угол между этими плоскостями вполне определяется углом между их нормальными векторами . Изобразим плоскости в виде ортогональной проекции на плоскость чертежа. Тогда их следы и нормальные векторы можно считать расположенными в плоскости чертежа:

Из свойств углов со взаимно перпендикулярными сторонами следует, что угол равен либо , либо , где - один из вертикальных углов, образованных пересечением плоскостей . Чтобы двугранный угол был острым, возьмем . Тогда получим формулу:

(4.7)

позволяющую найти угол между плоскостями .

Если то , и мы получаем условие перпендикулярности двух плоскостей:

Если плоскости параллельны, то вектора колинеарны, т. е.:

(4.8)

Это условие параллельности . Если (4.8) равно , то плоскости совпадают (сливаются в одну).

Если плоскости параллельны, то можно поставить задачу о нахождении расстояния между ними, т. е. величины . Для решения этой задачи приведем к нормальному виду: . Знак «+» или «-» берется противоположным свободным членам . При этом если знаки перед скобками совпадают, то плоскости расположены по одну сторону от начала координат и тогда ; если знаки перед скобками различны, то плоскости расположены по разные стороны от начала координат и тогда ; Обе формулы можно записать :

Где ) – расстояние между параллельными плоскостями.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ.

Рассмотрим плоскость R: Ax+By+Cz+D=0 и точку . Если , то координаты точки М удовлетворяют уравнению плоскости R: , если ,то М . Поставим задачу нахождения величины удаления точки М от плоскости R. Заключим точку М в плоскость . Нормальные уравнения плоскостей R и имеют вид:

Знак “+” означает, что начало координат и точка М расположены по одну сторону от плоскости R, а знак «-» означает, что М и R расположены по разные стороны плоскости. Т. к. М , то или (4.9)

Т. к. , то удобнее записать в виде:

(4.10)

Формулу (4.10) называют формулой расстояния от точки до плоскости.

Пример:

Найти расстояние точки (2,5,-3) от плоскости 2x-y+2z+6=0.

Решение:

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Из элементарной геометрии известно, что можно провести единственную прямую

Через две точки.
Через данную точку параллельно данной прямой.
Через данную точку перпендикулярно данной плоскости.
Две данные пересекающиеся плоскости определяют единственную прямую – линию их пересечения и т. д.

Для эффективного использования формул векторной алгебры при изучении прямых в пространстве прямую l удобно задавать с помощью точки , через которую она проходит параллельно вектору (m,n,p), называемому направляющим вектором прямой l. Пусть заданы в системе координат OXYZ. Возьмем на прямой l точку М(x,y,z) с текущими координатами и рассмотрим радиус-векторы Вектор колинеарен вектору (m,n,p). Поэтому . Это векторное равенство эквивалентно систем трех скалярных равенств:

(4.11)

Уравнения (4.11) называют параметрическими уравнениями прямой:

Исключим из (4.11) параметр t:

(4.12)

Соотношение (4.12) является системой двух уравнений с тремя неизвестными. Двойное равенство можно расчленить, например:

Уравнения этой системы есть неполные уравнения плоскости. Уравнение (а) определяет плоскость, перпендикулярную координатной плоскости XOY, а уравнение (б) – плоскости YOZ. Прямая l есть линия пересечения этих плоскостей, называемых проектирующими плоскостями прямой l на координатные плоскости. Очевидно, что пары проектирующих плоскостей можно составить и по-другому.

Уравнения (4.12) называют каноническими уравнениями прямой.

Рассмотрим частные случаи расположения прямой l относительно системы координат OXYZ. Пусть l║ OXY; тогда направляющий вектор =(m, n, 0). Из параметрических уравнений прямой имеем :

Позволим себе в третьем уравнении поделить на ноль. Тогда канонические уравнения прямой примут вид:

В этом случае канонические уравнения определяют прямую, перпендикулярную оси OZ. Прямая, параллельная оси OZ, имеет канонические уравнения:

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ.

Общими уравнениями прямой называется система :

(4.13)

Каждое из уравнений системы есть общее уравнение плоскости. Если плоскости имеют общую точку, то они пересекаются на прямой, проходящей через эту точку. Множество точек (x, y, z), координаты которых удовлетворяют уравнениям плоскостей системы (4.13) определяют эту прямую l.

При решении задач часто возникает необходимость преобразовать общие уравнения прямой (4.13) к каноническому виду

Для этого найдем какое-либо решение системы (4.13). Задав произвольно , (обычно для простоты берут ), из полученной системы двух уравнений с двумя неизвестными находим . Найдя векторное произведение , имеем Прямая l также перпендикулярна векторам . Значит. вектор можно принять за направляющий вектор прямой l. Таким образом, мы получили:

т. е. искомые канонические уравнения прямой, соответствующие общим уравнениям (4.13) получены.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Рассмотрим прямые:

Угол между прямыми определяется углом между их направляющими векторами . Тогда:

(4.14)

знак модуля берем, чтобы из двух вертикальных углов взять острый угол. Если , откуда:

(4.15)

Равенство (4.15) определяет условие перпендикулярности прямых .

Если прямые параллельны, то ║ . Из условия колинеарности векторов получаем:

(4.16)

Равенства (4.16) определяют условия параллельности прямых .

Возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Прямые пересекаются. Точки , координаты которых фигурируют в канонических уравнениях , определяют вектор

Т. к. две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, то векторы - компланарны. Из условия компланарности следует:

(4.17)

Равенство (4.17) определяет условие пересечения прямых.

параллельны. для параллельных прямых решим задачу о нахождении расстояния между ними. Найдем векторное произведение , модуль которого определяет площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях: .

Высота параллелограмма равна - расстоянию между . Т. к.

Если вместо вектора взять вектор то получим такую же величину .

скрещиваются: . Построим на векторах параллелепипед. Его объем равен , а площадь основания .

Т. к. V=Qh, то , но за расстояние между скрещивающимися прямыми принимается расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые; поэтому . Таким образом|:

СВЯЗКА ПЛОСКОСТЕЙ.

Рассмотрим общие уравнения прямой:

(4.18)

Умножим второе уравнение на и сложим равенства

(4.19)

Если точка M(x,y,z) , то ее координата удовлетворяет обеим уравнениям системы (4.17), а, следовательно, и уравнению (4.18). Значит плоскость, заданная уравнением (4.18) при любом λ проходит через прямую l. Изменяя параметр λ получим бесконечное множество плоскостей, проходящих через прямую l. Это множество плоскостей называют связка плоскостей. Выбирая подходящим образом λ из пучка плоскостей можно выделить плоскость, удовлетворяющую определенным требованиям – например, чтобы она проходила через заданную точку точку ( и т. д.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Рассмотрим прямую l и плоскость R в пространстве:

l : l

R: Ax|+By+Cz+D =0

Взаимное расположение l и R определяется векторами =(m,n,p) и (A,B,C). Пусть требуется определить угол φ между прямой l и ее проекцией на плоскость R . Очевидно, что . Отсюда получим:

(4.20)

Если φ=0, то l║R. Значит

Am+Bn+Cp=0 (4.21)

Есть условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть тогда вектора и колинеарны. Поэтому

(4.22)

Из (4.21) видно, что условие параллельности прямой и плоскости имеет такую же форму, как условия перпендикулярности двух плоскостей или двух прямых. То же можно сказать и в отношении условия перпендикулярности прямой и плоскости (4.22).

Если l║R и какая-либо точка прямой принадлежит плоскости R, то прямая принадлежит плоскости:

(4.23)

Соотношение (4.23) определяет условие принадлежности прямой плоскости.

Пусть прямая l пересекает плоскость R в точке М. Эту точку называют точкой встречи прямой с плоскостью. Для нахождения ее координат надо решить систему уравнений прямой и плоскости.

Это система уравнений с тремя неизвестными. Специфика уравнений позволяет применить следующий метод ее решения. Введя параметр

перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

(4.24).

Подставив текущие координаты (x, y, z) в уравнение плоскости, получим:

Решив это уравнение относительно t, подставим решение в параметрическое уравнение прямой (4.24):

Точка М( и будет точкой встречи l и R.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

Пусть изучаемые объекты – точки и прямые заданы в системе координат OXY. Т. к. уравнение координатной плоскости OXY определяется уравнением z=0, то из всех формул стереометрии можно получить формулы планиметрии, положив в полученных ранее формулах z=0. Например, формула площади треугольника с вершинами в системе координат OXYZ имеет вид:

(4.25)

Для получения величины площади ∆АВС с вершинами системе координат OXY достаточно в формуле (4.25) положить z=0. Получим:

(4.26)

В случае знак «минус» опускаем. Можно преобразовать формулу (4.26)

(первую строку поочередно прибавили ко второй и к третьей)

формула (4.26) приняла вид:

(4.27)

Сравнивая (4.25) и (4.27) видим, что формулы в различаются существенно. В ряде случаев существенных различий нет.

Сравним уравнения прямых, проходящих через две точки:

В имеем : ;

В имеем : .

Последнее уравнение перепишем в виде:

. Обозначив , получим - уравнение прямой, проходящей через точку ( ) с угловым коэффициентом k

O X

Как видно из чертежа, угловой коэффициент к=tgα, где α – угол наклона прямой к оси OX. Перепишем уравнение в виде y=kx+ . Пусть =b. Тогда y=kx+b.

Это уравнение прямой наиболее удобно для изучения взаимного расположения двух прямых на плоскости. Рассмотрим прямые :

Примем положительный угол φ при перемещении по дуге от против часовой стрелки. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с этим внешним, т. е. . Перейдя к тангенсам углов, получим:

Имеем:

(4.28)

Эта формула позволяет найти угол между , а также условие параллельности прямых:

(4.29)

и перпендикулярности прямых:

(4.30)

Уравнение Ax+By+C=0: по аналогии с общим уравнением плоскости называется общим уравнением прямой. Нормальное уравнение прямой может быть записано в виде , т. к.