53

I. Системы линейных уравнений.

§1. Основные определения и понятия. Уравнение вида

н азывается линейным неоднородным уравнением. Числа называют коэффициентами уравнения. Параметры - неизвестными уравнения. Число b – свободный член уравнения (1.1). Если b=0 , такое уравнение называется однородным:

соответствующим неоднородному уравнению (1.1)

Множество чисел , таких, что обращающих уравнение (1.1) в тождество называется решением линейного уравнения (1.1). Очевидно, что решением однородного уравнения (1.2) является . Такое решение называется тривиальным т.е. (очевидным и малоинтересным). Кроме тривиального, однородное уравнение может иметь и нетривиальное (т.е. отличное от нулевого) решение. Система уравнений вида:

Н азывается системой линейных уравнений. Здесь - неизвестные, - коэффициенты при неизвестных и -свободные члены.

Решением системы (1.3) называется упорядоченная система чисел обращающая при замене ими соответствующих неизвестных уравнения системы (1.3) в тождества.

Система линейных уравнений

в которой все свободные члены , называется однородной, соответствующей неоднородной системе (1.3). Для однородной системы линейных уравнений всегда существует тривиальное решение. Если кроме нулевого решения однородная система не имеет других решений, то она называется тривиально совместной . Если кроме нулевого решения существуют еще и ненулевые решения, то однородная система называется нетривиально совместной.

§2. Системы и определители второго порядка. Формулы крамера.

Рассмотрим систему из 2-х уравнений с двумя неизвестными:

Будем решать эту систему методом исключения переменных: для определенности исключим неизвестное y, для этого умножим 1-е уравнение на , а 2-е на и , почленно сложив уравнения, получим:

Аналогично, исключая из системы неизвестное х, можно получить:

Введем следующие обозначения

Символы назовем определителями 2-го порядка (в соответствии с порядком системы) – элементы определителей , образующие строки и столбцы. - обозначения определителей. Величину будем называть определителем системы. Он представляет собой таблицу из коэффициентов при неизвестных x и y. Величины называют определителями при неизвестных x и y. Для их получения необходимо столбцы коэффициентов соответствующего неизвестного заменить столбцом из свободных членов.

Отметим простейшие свойства определителей 2-го порядка , проверяемые непосредственно по формуле:

1) Если элементы любой строки (столбца) равны нулю, то определитель ∆=0;

2. Если элементы строк (столбцов) пропорциональны, то определитель ∆=0. Действительно из следует =0, откуда =∆=0;

3. Если строки (столбцы) поменять местами, то знак определителя сменится на противоположный

2. Если определитель элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно выносить за знак определителя.

Действительно

Используя определители, систему (1.5) можно записать в эквивалентном виде:

Рассмотрим 3 возможных случая:

1. ∆≠0, тогда х= ; у= ; (Эти формулы для нахождения решения системы линейных уравнений называются формулами Крамера).

2. ∆=0, Пусть для определенности . Заметим, что из ≠0 следует, что и ≠0. Действительно, ∆=0, значит но ≠0 , значит ; что влечет ; отсюда следует ≠0. Система (1.6) имеет вид:

, т. е. система несовместна

Пусть ∆=0, = =0 отсюда следует, что =λ и система (1.5) вырождается в одно уравнение, например, .Действительно после сокращения на принимает вид .

Одно уравнение с 2-мя неизвестными имеет бесконечное множество решений, т. к. одно из неизвестных можно считать свободным и назначить любым числом, а другое выразить через свободное неизвестное:

x=1/ ( ), где у ∈ R(любое рациональное число).