11. Модели в терминах пространства состояний.
Существует два вида моделей: 1)в терминах «вход-выход»;
2)в терминах «пространства состояний».
Сравнивая эти два вида моделей, можно сказать, что модели в терминах пространства состояний в общем случае являются более информативными, открывают новые возможности анализа и синтеза, но в прикладных задачах применяются реже, т.к. методы, которые на них базируются, существенно более сложны.
Пространство состояний – фазовое пространство, в котором роль переменных выполняют выходные переменные и их производные.
Пример: Имеется двусвязный объект,который описывается диф.уравнениями:
a2 d2y1/dt2+a1 dy1/dt+y1=k1U1,
b2 dy2/dt+y2=k2U2,
c3 dy2/dt+y2=k3U1.
Эквивалентным описанием являются ПФ:
W1 = W11=k1/(a2×S2+a1×S+1),
W2 = W22=k2/(b2S+1),
W3=W12=k3/(c3S+1).
W21 = 0 , т.е. модели в терминах «вход-выход»
Пусть y1=x1 , x2=x1’ , y2=x3, тогда
d
x1/dt=x2,
dx2/dt=(-a1/a2)x2+(-1/a2)x1+(k1/a2)U1, (*)
dx3/dt=(-2/(c3+b2))x3+(k3/c3)U1+(k2/b2)U2, Из уравнений (*):
0
1 0 0 0
А= (-1/а2) (-а1/а2) 0 В= k1/a2 0
0 0 (-2/(b2 + c3)) k3/c3 k2/b2
А-матрица коэффициентов
В- матрица входов или управлений.
Если рассматривается не объект, а система регулирования, то нужно дополнять систему (*), описанием регуляторов. Например,
t
U1=Kp1(x1-y1зд)
+1/Т1И
(ПИ-регулятор)
0
12. Понятия и физическая сущность понятий «управляемость», «наблюдаемость», «стабилизируемость», «нормируемость» и т.Д. Методы анализа и обеспечения этих свойств.
Управляемость:
система управляема, если существует
управление U(t),
при котором система переводится из
начального состояния Х0 в состояние Хd:
за конечное время. Признаком управляемости
является отсутствие нулевой строки в
матрице В.
Частичная управляемость: если есть подмножество состояний, из которых перевод за конечное время невозможен.
Если матрицы А и В const, то система будет управляема, когда ранг матрицы управления
rank{ Lс(n × n×m)} = n ,где
Lc=[В½АВ½А2В½…½Аn-1B]
Ранг Lc равен размерности максимального ненулевого определителя блока матрицы.
Условия управляемости по выходу отличаются от вышеприведенного тем, что все матрицы домножаются на С: Lc=[C×B½C×AB½…].
Стабилизируемость: свойство более слабое, чем управляемость, и соответствует случаю,когда вещественные части собственных чисел могут быть сделаны отрицательными.
Нормализуемость: наиболее сильная форма управляемости. Система нормализуема, если каждая координата вектора U в отдельности обеспечивает управляемость. Матрица В должна иметь размер (n × m) и каждый столбец: Lc j=[bj½А bj½А2 bj ½…½Аn-1 bj]
Наблюдаемость: означает, что все координаты могут быть получены из Х, т.е. матрица U не должна иметь нулевого столбца.