5.2. Розрахунок параметрів настроювання автоматичних регуляторів
Вибір схеми автоматичного регулювання і вибір регулятора за законом регулювання.
Для регулювання температури води в мережу вибираємо одноконтурну систему регулювання з ПІ-регулятором.
Метод розширених частотних характеристик базується на амплітудно-фазовому критерії стійкості (критерій Найквіста), який можна інтерпретувати як критерій запасу стійкості, якщо замість звичайних частотних характеристик застосовуються розширені частотні характеристики.
Розширена частотна характеристика системи з відомою функцією передачі визначається заміною в ній оператора Лапласа виразом
де
– ступінь коливальності, який характеризує
запас стійкості;
кругова частота.
Амплітудно-фазовий
критерій стійкості, як критерій запасу
стійкості за розширеними частотними
характеристиками формулюється так:
якщо розширена амплітудно-фазова
характеристика (РАФХ) розімкнутої САР
на частоті
проходить через точку (–1, і0), не охоплюючи
її на більш високих частотах, то корені
характеристичного рівняння замкнутої
системи будуть розташовані в лівій
напівплощині на променях
і всередині сектора, обмеженого цими
променями .
Математично умова забезпечення заданого запасу стійкості формується на основі амплітудно-фазового критерію стійкості Найквіста, в якому застосовуються розширені частотні характеристики розімкнутої системи автоматичного регулювання
,
де
- РАФХ об’єкта регулювання;
- РАФХ регулятора;
,
- розширені амплітудно-частотні
характеристики об’єкта регулювання
та регулятора;
розширені
фазочастотні характеристики об’єкту
регулювання та регулятора. Враховуючи
те, що в розімкнутій САР об’єкт регулювання
та автоматичний регулятор з’єднані
послідовно та з виразу отримуємо систему
рівнянь у вигляді
.
Якщо
розширена амплітудно-фазова характеристика
розімкнутої САР проходить через точку
(-1, і0), то звичайна її АФХ не охоплює цю
точку і система має запас стійкості,
за амплітудою
,
так і за фазою γ .
Для розрахунку параметрів регуляторів на заданий запас стійкості системи, перш за все задаються заданим значенням ступеня коливальності mзад.
Розрахунок параметрів настроювання ПІ регулятора.
Пропорційно-інтегральний регулятор (ПІ-регулятор) є паралельним з’єднанням пропорційної та інтегральної ланок, функція передачі якого має вигляд
,
де
kp
– коефіцієнт передачі регулятора;
час
ізодрому.
Розрахунок параметрів настроювання ПІ-регулятора здійснюється в два етапи:
1)
в площині параметрів настроювання
регулятора
знаходять границю області заданого
запасу стійкості САР;
2) із знайденої границі області заданого запасу стійкості вибирають оптимальні значення параметрів настроювання регулятора. Під оптимальними розуміють такі значення параметрів настроювання, які при заданому запасі стійкості САР забезпечують мінімальне значення обраного критерію оптимальності. В практичних розрахунках звичайно критерієм оптимальності обирають інтегральну оцінку.
Згідно рівняння для розрахунку параметрів настроювання ПІ-регулятора необхідно знати розширені частотні характеристики об’єкту регулювання і ПІ-регулятора
де
дійсна
та уявна розширені частотні характеристики
об’єкту регулювання, які для спрощення
надалі позначимо відповідно
та
.
РАФХ ПІ-регулятора записується у вигляді
.
.
,
звідки
отримуємо систему двох рівнянь з двома
невідомими
і
Розв’яжемо
отриману систему рівнянь відносно
і
.
Враховуючи,
що дійсна і уявна частотні характеристики
визначаються як
,
одержимо значення параметрів настроювання в іншому вигляді:
Необхідно виділити робочий діапазон частот регулятора. Граничні частоти цього діапазону * та ** знаходять числовим або графічним розв’язуванням рівнянь
,
- частота І-регулятора
.
- частота П-регулятора
Застосуємо простіший графічний спосіб визначення * та **.
Програма в середовищі Matlab для знаходження значень ω* та ω**
%знаходження w* та w**
clear,clc;
T=5.5691; m=0.3; k=0.9;
w=[0:0.001:0.5];
p=-m*w+i*w;
Wor=k./(T.*p+1).^3;
fi=phase(Wor);
l1=-pi/2+atan(m);
l2=-pi;
plot(w,fi,w,l1,w,l2);grid;
plot(w,fi,[0 0.5],[-pi/2+atan(m)-pi/2+atan(m)],[0 0.5],[-pi -pi]); grid;
xlabel('w, rad/sec'); ylabel('fi, rad');
Рис.5.2.1. Графік розширеної фазо-частотної характеристики ОР
W* = 0.072 рад/с
W** = 0.204 рад/с
Змінюючи частоту в діапазоні (ω*; ω**) будую криву області границі запасу стійкості і з неї знаходжу оптимальні параметри настройки ПІ-регулятора.
Змінюючи частоту в діапазоні (ω*; ω**) будую криву області границі запасу стійкості і з неї знаходжу оптимальні параметри настройки ПІ-регулятора.
Для
заданого m в площині параметрів
,
будуємо границю області запасу стійкості,
з якої визначаємо оптимальні значення
параметрів настроювання (
)опт,
(
)опт,
отримані при другій мінімальній
інтегральній оцінці.
де
- крива розгону замкнутої САР по регулюючій
дії;
- задане значення регульованої величини.
Програма в середовищі Matlab для знаходження оптимальних параметрів настроювання регулятора
% 2-ga integralna ocinka
clear,clc;
w=[0.0718:0.01:0.2047];
T=5.5691; m=0.3; K=0.9;
p=-m.*w+i.*w;
W_op=K./(T.*p+1).^3;
Fi_op=phase(W_op);
A_op=abs(W_op);
gama=abs(Fi_op)+atan(m)-pi;
Kp_Tiz=-(w.*(m^2+1).*sin(Fi_op))./A_op;
Kp=(-cos(Fi_op)-m.*sin(Fi_op))./A_op;
for i=1:length(w)
Kp1=Kp(i);
Kp_Tiz1=Kp_Tiz(i);
sim('PI_reg');
J2(i)=sum(abs((x(:,2)).^2));
end
figure(1)
[J s]=min(J2)
Kp(s)
Kp_Tiz(s)
Kp1=Kp(s)
Kp_Tiz1=Kp_Tiz(s)
plot(Kp,J2,Kp1,J,'r*'), grid
xlabel('Kp'), ylabel('J2');
sim('PI_reg');
figure(2)
plot(tout,x(:,2)), grid
xlabel('t, hv'), ylabel('T, oC');
figure(3)
plot(Kp,Kp_Tiz,Kp1,Kp_Tiz1,'r*'), grid
xlabel('Kp'), ylabel('Kp/Tiz');
Результат виконання програми:
kp_Tizopt 0.1213 kpopt = 1.9672
Отже, функція передачі ПІ-регулятора:
Рис.5.2.2. Границя області заданого запасу стійкості САР температури води з ПІ-регулятором.
Рис.5.2.3. Графік залежності між значеннями другої інтегральної оцінки якості J2 і параметром настроювання АР Кр