2.5. Задача 5.
Дано:
,
,
,
,
,
,
(см.
рис. 2.4).
Доказать:
1) L – центроид
;
2)
.
В решении использована следующая интересная вспомогательная лемма, которая вытекает из теоремы Чевы (см. приложение «Интересный факт», рис. 2.5).
Решение
Проведём
,
.
— параллелограмм
(
,
).
Следовательно,
.
Так как и
,
то
— параллелограмм (
,
).Так как , то
— вершина параллелограмма
(по доказанной лемме из приложений к
работе — с. 32, рис. 2.5).Так как , , - параллелограммы, то по свойству диагоналей параллелограмма:
,
,
.
Так как , то
=
=
К – центроид
L=K L – центроид , что и требовалось доказать.
Так как
,
то по теореме о принадлежности центроида
зонам Дирихле вершин треугольника
,
ч. т. д.
ВЫВОДЫ
В работе проведены исследования и выяснены условия принадлежности основных замечательных точек треугольника зонам Дирихле вершин треугольника в «евклидовой» метрике. Рассматриваются такие точки, как ортоцентр (Н), инцентр (I), центроид (М), центр описанной окружности (O), 2 точки Брокара (P та Q), точка Торричелли (Т). Доказано, что точка О лежит на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника, точки Н, I, М, Т принадлежат зоне Дирихле вершины большего угла треугольника, для точек P и Q определены специфические условия их принадлежности сферам влияния вершин треугольника. Полученные результаты сформулировано в виде теоремы. Также составлено и решено 5 авторских задач, в которых используется эта теорема. Параллельно были изучены понятия метрика, расстояние, метрическое пространство и зоны Дирихле в метрических пространствах, рассмотрены способы деления пространства на зоны Дирихле, практическое применение зон Дирихле. Также были написаны три программы по теме работы на Delphi 7 для персонального компьютера, которые автоматизируют деление плоскости на зоны Дирихле, а также определение принадлежности точек сферам влияния в разных метриках.
Все основные результаты работы получено самостоятельно. Они не содержатся в доступной автору литературе по теме.
Список использованных источников
Скворцов. В. А. Примеры метрических пространств. – М.:МЦНМО, 2002. – 24с.
Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. – М.:МЦНМО, 2005. – 56с.
Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. – М.: «Наука», 1987. – 160 с.
Прасолов. В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. – М.:МЦНМО, 2000.–24с.
Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника – М.:МЦНМО, 2002. – 32 с.
Пинтер Л., Хегедыш Й. Упорядоченные наборы чисел и неравенства.// Квант. Научно-популярный физико-математический журнал.– 1985, № 12. – с.14 – 16.
Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1962. – 151с.
Ж. Адамар. Элементарная геометрия. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1948. – 608с.
Кудин А. Некоторые малоизвестные факты из геометрии треугольника.// Математика. Еженедельное научно-методическое приложение к газете «Первое сентября» – 1999, № 6. – с. 6 –10.
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1. – М: «Наука», 1991. – 320 с.
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2. – М: «Наука», 1991. – 240 с.
Кушнiр I.A. Трикутник у задачах. К.: «Либiдь», 1994. – 104 с.
Кушнир И.А., Финкельштейн Л.П. Геометрия. Школа боевого искусства. – К.: «Факт», 1999. – 232 с.
Заславский А., Косов Д., Музафаров М. Траектории замечательных точек треугольника Понселе. // Квант. Научно-популярный физико-математический журнал.– 2003, № 2.– с.22 – 25.
Заславский А., Косов Д., Музафаров М. Траектории замечательных точек треугольника Понселе. // Квант. Научно-популярный физико-математический журнал. – 2003, № 3 – с.60 – 63.
Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. – Одесса: Типография бланкоиздательства М. Шпенцера, 1902. – 335 с.