Раздел 2 задачи

В этом разделе рассмотрены пять авторских задач, в которых используется полученная теорема.

2.1. Задача 1.

Предприниматель купил 3 торговых зоны (А, В, С) в сельской зоне. Ему нужно выбрать место для склада Х, до которого нужно отремонтировать дороги. Где выбрать Х так, чтобы минимизировать затраты на ремонт дорог и перевозку товаров. Считаем, что затраты на ремонт пропорциональны + + , а затраты на перевозку пропорциональны + + ( — площади торговых зон).

Для решения задач я буду использовать хорошо известный принцип упорядоченных наборов для трёх чисел: если , , то , где — некоторая перестановка . Его доказательство представлено в [6, стр. 14].

Решение

Возможны такие случаи:

1. Все углы АВС меньше 120˚.

2. Треугольник АВС имеет больший угол равный или больший 120˚.

3. Точки А, В, С лежат на одной прямой.

Для первого случая ответом является точка Торричелли. По её свойству:

, значит .

Для второго случая ответом будет точка Ферма, которая будет совпадать с вершиной тупого угла.

Если точки А, В, С образуют прямую, то совпадает с точкой, лежащей между двумя другими.

Пусть и . По доказанному неравенству:

.

В отличие от стандартной задачи Ферма – Торричелли – Штейнера здесь введены коэффициенты при длинах расстояний и способ решения этой задачи. Используя теорему о принадлежности точки Торричелли зонам Дирихле вершин треугольника и зная длины , , можно упорядочить расстояния , , наибольшее и наименьшее.

2.2. Задача 2.

Предприниматель купил 3 торговых зоны (А, В, С) в деревенской зоне. Где нужно выбрать место для склада Х, до которого нужно отремонтировать дороги так, чтобы минимизировать затраты на ремонт дорог и перевозку. Затраты на ремонт пропорциональны + + ; а затраты на перевозку пропорциональны + + ,где ( — площади магазинов).

Решение

По теореме Лейбница [7, стр. 69] для :

, значит искомая точка – центроид.

Решение второй части задачи ( ) аналогично решению второй части задачи №1.

2.3. Задача 3.

Даны 3 точки плоскости (А, В, С), образующие треугольник АВС, известны длины его сторон. Найти точку Х внутри треугольника такую, что (рис 2.1). Пусть даны — некоторые положительные числа. Каким образом нужно расставить коэффициенты таким образом, чтобы минимизировать величину , где — некоторые перестановки .

Решение

1. Умножим на . Имеем:

=

По неравенству Коши (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом): , , , значит:

Равенство достигается при

, , или , т. е. Х=I (инцентр).

Если даны коэффициенты , то решение задачи аналогично решению второй части задачи №1.

2.4. Задача 4.

Дано: , , , , (рис 2.2).

Доказать: а) Точка К – центроид , б) .

Доказательство

1. Проведём , (см рис. 2.3.).

2. - параллелограмм (Так как и ).

3. Так как и , то , значит

— параллелограмм.

4. Так как , то и - диагонали , значит .

5. 

.

6. Так как и , то L – центроид , значит

7. В параллелограмме :

.

Так как (по условию) и (по доказанному), то и L – центроид , то – центроид .

Так как и параллелограммы, то .

Так как , то по теореме о принадлежности центроида зонам Дирихле вершин имеем (см. с. 16): , что и требовалось доказать.