Раздел 1 о принадлежности некоторых замечательных точек треугольника зонам дирихле его вершин

Рассмотрим обычную плоскость с «евклидовой» метрикой и зафиксируем 3 точки на ней, не лежащие на одной прямой. Получится треугольник.

Для того чтобы разделить плоскость на зоны Дирихле относительно трёх вершин треугольника, достаточно провести серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

Как известно, в треугольнике существует множество особых точек, обладающих экстремальными и другими интересными свойствами. Рассмотрим некоторые из них: центр описанной окружности, ортоцентр, центроид, инцентр, точки Брокара, точка Торричелли и выясним условия на элементы треугольника, при которых эти точки принадлежали зоне Дирихле одной из вершин треугольника.

1. Центр описанной окружности

Так как центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров, то он находится на одинаковом расстоянии от вершин треугольника (на расстоянии, равном радиусу описанной окружности), то есть на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника.

2. Ортоцентр

Высота треугольника — прямая СD (рис. 1.1) опущенная из вершины треугольника перпендикулярно к прямой, содержащей противоположную сторону. Ортоцентр – точка пересечения высот в треугольнике. Ортоцентр лежит внутри треугольника в случае остроугольного треугольника, на вершине прямого угла в прямоугольном треугольнике, и вне треугольника – в тупоугольном.

1.2.1. При каких условиях ортоцентр

находится на пересечении зон Дирихле?

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Он совпадает с центром описанной окружности тогда и только тогда, когда 3 высоты совпадают с тремя серединными перпендикулярами. Если это будет верно для 3 сторон, то получим равносторонний треугольник (рис. 1.2).

Точка О (ортоцентр и центр описанной окружности) находится на пересечении зон Дирихле. В этом случае углы треугольника АВС равны.

1.2.2. При каких условиях ортоцентр принадлежит

зоне Дирихле вершины А?

Так как в зависимости от мер углов треугольника ортоцентр может лежать как внутри треугольника, так и совпадать с его вершиной, так и быть вне треугольника, то рассмотрим отдельно случаи остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

1.2.2.1. Для остроугольного треугольника:

Гипотеза: , то есть .

Пусть угол А – больший (рис. 1.3.). Имеем:

Из и имеем , .

Докажем, что или при

Из теоремы косинусов имеем: .

Докажем требуемые неравенства.

А) умножим на , ,

, , так как , то , ч. т. д.

Б) умножим на , ,

, , так как , то , ч. т. д.

Значит, система верна при .

Вывод: , ч. т. д.

1.2.2.2. Для прямоугольного треугольника:

Так как ортоцентр всегда лежит в вершине прямого угла, то он принадлежит его зоне Дирихле.

Вывод: .

1.2.2.3. Для тупоугольного треугольника:

В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит на продолжении высоты проведенной из вершины тупого угла (рис 1.4). Так как в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона и тупой угол больше острого, то:

А) Из имеем .

Б) Из имеем .

Значит, в тупоугольном треугольнике и .

Вывод: .