35

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

Министерство образования и науки Автономной Республики Крым

Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»

Отделение: математика

Секция: прикладная математика

Зоны дирихле вершин треугольника

Работу выполнил:

Магера Николай Владимирович,

ученик 9 – Б класса

средней общеобразовательной школы

I–III ступеней № 27 г. Симферополя

Научный руководитель:

Стонякин Фёдор Сергеевич,

ассистент кафедры алгебры и функционального анализа

Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Симферополь — 2011

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ 2

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 3

3

ВВЕДЕНИЕ 4

Раздел 1 6

О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НЕКОТОРЫХ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕУГОЛЬНИКА ЗОНАМ ДИРИХЛЕ ЕГО ВЕРШИН 6

1. 1.1. Центр описанной окружности 6

2. 1.2. Ортоцентр 6

3. 1.3. Центроид 8

4. 1.4. Инцентр 10

5. 1.5. Точки Брокара 11

6. 1.6. Точка Торричелли 14

7. 1.7. Теорема о принадлежности замечательных точек треугольника зонам Дирихле его вершин 16

Раздел 2 16

ЗАДАЧИ 16

8. 2.1. Задача 1. 16

9. 2.2. Задача 2. 17

10. 2.3. Задача 3. 18

11. 2.4. Задача 4. 19

12. 2.5. Задача 5. 20

ВЫВОДЫ 21

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 22

ПРИЛОЖЕНИЯ 23

1. Рисунки к основной части работы 23

2. Метрические пространства и зоны Дирихле 26

13. Какие бывают расстояния 26

14. Шары 27

15. Аксиомы метрики 29

16. Зоны Дирихле в метрических пространствах и их приложения 30

3. Интересный факт 31

4. Компьютерное приложение к работе 33

Список условных обозначений

Знак логического следования.

Расстояние между точками X, Y.

А В «Сравним величины А и В».

Точка Х принадлежит зоне Дирихле точки А.

Название евклидовой метрики, заданной формулой

( ) .

Название городской метрики, заданной формулой

.

Название метрики, заданной формулой

( ).

Название метрики, заданной формулой

( )

Введение

Актуальность темы. Хорошо известно понятие «метрическое пространство» (это множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов) и «зоны Дирихле» в метрическом пространстве. Для несколько точек метрического пространства оно делится на зоны Дирихле относительно этих точек следующим образом: каждой из точек соотносится такое подмножество метрического пространства , что , . Зоны Дирихле также называют сферами влияния. Они используются во многих прикладных задачах [1]. В качестве примеров можно привести задачу о станциях метро, а также задачу из теории кодирования (см. приложение «Зоны Дирихле в метрических пространствах и их приложения» к данной работе).

В треугольнике известно множество замечательных точек, обладающих важными свойствами. Например, точка Торричелли широко используется в теории кратчайших сетей [2]. Также существует и активно используется понятие центра тяжести (центра масс) системы материальных точек на плоскости [3]. При этом многие замечательные точки треугольника являются центрами тяжести системы вершин треугольника, в которые помещены грузы с некоторыми массами [3].

В связи с этим интерес представляет задача выяснения условий на элементы треугольника, при которых эти точки принадлежат зонам Дирихле одной или нескольких вершин треугольника.

Объект исследования. Треугольник и его элементы (особенно – различные его замечательные точки).

Предмет исследования. Принадлежность замечательных точек треугольника зонам Дирихле его вершин в евклидовой метрике на плоскости.

Цели и задачи работы. Цель данной работы состоит в том, чтобы провести исследование и выяснить условия принадлежности основных замечательных точек треугольника зонам Дирихле вершин треугольника. Попутно изучаются понятия метрика (расстояние), метрическое пространство и зоны Дирихле в метрических пространствах, рассмотрены способы деления пространств на зоны Дирихле, приложения зон Дирихле к некоторым прикладным задачам.

В первом разделе выяснены условия принадлежности ряда замечательных точек, таких как ортоцентр, инцентр, центроид, центр описанной окружности, 2 точки Брокара, точка Торричелли в треугольнике зонам Дирихле их вершин в зависимости от элементов (см. теорему на с. 16).

Во втором разделе составлены и решены 5 авторских задач, в которых используется полученный результат.

Приложения посвящены метрическим пространствам, зонам Дирихле в них и некоторым их приложениям.

Также написано три программы на языке программирования Delphi 7 для персонального компьютера. Программы автоматизируют деление пространства на сферы влияния для разных метрик, а также определение принадлежности исследуемых точек зонам Дирихле. Подробнее про работу программ можно прочитать в приложениях к работе.

Научная новизна. Самостоятельно получена теорема о принадлежности замечательных точек треугольника (ортоцентр, инцентр, центроид, центр описанной окружности, 2 точки Брокара, точка Торричелли) зонам Дирихле его вершин. Также составлено и решено 5 авторских задач, в которых используется полученный результат. Указанных фактов нет в доступной автору литературе. Полученные результаты дополняют и развивают геометрию треугольника.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии треугольника (для вывода теоремы, решения задач), метод координат (для написания программ), метод математического анализа, а именно неравенства Коши, принцип упорядоченных наборов (для решения авторских задач (№№ 1, 2)).

Практическая значимость работы. Работа имеет, в основном, теоретическое значение. Отдельные факты имеют некоторое прикладное значение (например, задачи о торговых точках).