2.2. Постановка задачи линейного программирования и свойства ее решений

Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Формы записи задачи линейного программирования.

Дана система m уравнений и неравенств с n переменными

(2.1)

и линейная функция

. (2.2)

Необходимо найти такое решение системы (2.1) с неотрицательными компонентами , при котором линейная функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Систему (2.1) называют системой ограничений, функцию f — целевой функцией ограничений, поставленную задачу — общей задачей линейного программирования (ЛП).

Более кратко общую задачу ЛП можно записать следующим образом:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Задача ЛП называется стандартной, если система ограничений (2.3)–(2.7) содержит только неравенства, т. е. k = m.

Задача ЛП называется канонической или основной задачей ЛП, если система ограничений состоит только из равенств, т. е. k = 0 и l = m.

Упорядоченный набор чисел , удовлетворяющий системе ограничений (2.4)–(2.7), называется допустимым решением или планом задачи.

Допустимое решение (план) задачи: , при котором целевая функция (2.3) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Рассматриваемые формы задачи ЛП эквивалентны в том смысле, что каждая из этих задач с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой.

Так ограничение-неравенство можно преобразовать в ограничение-равенство добавлением к его левой части дополнительной неотрицательной переменной :

. (2.8)

Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных равно числу преобразуемых неравенств. Они имеют вполне определенный экономический смысл. Если в ограничениях задачи отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.

В это же время каждое уравнение можно записать в виде системы неравенств:

(2.9)

Пример 2.1. Записать задачу, состоящую в минимизации функции , при условиях:

(2.10)

в форме основной задачи линейного программирования.

Вместо минимизации функции f рассматривается задача максимизации функции , при ограничениях, получающихся из ограничений (2.10), добавлением к левой части неравенств вида «» и вычитанием из левой части неравенств вида «» неотрицательной переменной. Таким образом получаем задачу:

;