10) Волновое уравнение для электромагнитного поля. Электромагнитные волны в диэлектриках и их свойства.

Волновое уравнение

В 1863 г. Максвелл предсказал на основе полученных им уравнений электромагнетизма существование электромагнитных волн. Покажем, что в вакууме векторы поля удовлетворяют волновому уравнению. Напишем систему уравнений Максвелла:

(1)

(2)

(3)

(4)

Продифференцировав уравнение (1) по времени и заменив в полученном уравнении получим : (5)

Пользуясь формулой векторного анализа и принимая во внимание уравнение (3), получим:

(6)

Аналогичным образом, исключая из уравнений (1) и (2), находим, что вектор H удовлетворяет волновому уравнению: (7)

где – скорость волны. Уравнения (6) и (7) – это волновые уравнения для векторов E и H соответственно. Из того, что векторы E и H удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле, которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь тогда, когда их возбуждают. Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но, возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет. Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих его зарядов. Из уравнений (6) и (7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в вакууме. Рассмотрим теперь решения волнового уравнения. Начнем с самого простого случая – пространственно одномерного волнового уравнения:

Общее решение этого уравнения имеет вид :

где f1 и f2 – произвольные функции, а аргументы этих функций представляют собой специальные комбинации переменных x,t и постоянной V. Смысл этих решений прост. Если в момент t=0 графически изобразить функции f1(x) и f2(x) , то в последующие моменты времени эти функции смещаются вдоль оси X со скоростью V как целое: f1 – вправо, а f2- влево.

- Распространение электромагнитной волны в диэлектрике представляет собой непрерывное поглощение и переизлучение электромагнитной энергии электронами и ионами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электрическом поле волны. При этом в диэлектрике происходит уменьшение скорости волны.

11) Энергия электромагнитных волн. Плотность энергии и вектор плотности потока энергии э/м волн. Вектор Пойнтинга. Интенсивность электромагнитной волны.

Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического поля и энергии магнитного поля.

Как показывает опыт, электромагнитные волны могут производить различные действия: нагревание тел при поглощении света, вырывание электронов с поверхности металла под действием света (фотоэффект). Это свидетельствует о том, что электромагнитные волны переносят энергию. Эта энергия заключена в распространяющихся в пространстве электрическом и магнитном полях.

В курсе электричества и магнетизма было показано, что объемная плотность энергии электрического поля равна

а магнитного поля –

где и – электрическая и магнитная постоянные. Таким образом, полная плотность энергии электромагнитной волны равна

Так как модули вектора напряженности электрического и индукции магнитного поля в электромагнитной волне связаны соотношением , то полную энергию можно выразить только через напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля:

Плотность энергии электромагнитного поля можно представить в виде:

Плотностью потока энергии называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярной к направлению распространения волны:

Вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, одна из компонент тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:

(в системе СГС),

(в системе СИ),

где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно.

- Модуль среднего значения вектора Пойнтинга называется интенсивностью электромагнитной волны:

В случае синусоидальной монохроматической плоской (когда плоскости колебаний векторов Е и Н не меняются со временем) электромагнитной волны, распространяющейся в направлении х:

для интенсивности получается: