1. Гармонические колебания и их характеристики: амплитуда, фаза, период и частота. Метод векторных диаграмм как способ представления гармонических колебаний.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса).

Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

s =A cos (ω₀ t +φ) , (1)

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, ω₀ – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебания в момент времени t=0,

(ω₀ t + φ) – фаза колебания в момент времени t.

Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение равное 2π, т.е.

ω₀ (t+T)+ φ =( ω₀ t + φ)+ 2π ,

откуда

T=2π/ω₀ (2)

Величина, обратная периоду колебаний,

ν=1/T (3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим

ω₀ = 2πν

Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.

Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом φ, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (см. рисунок 1).

Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (ω₀ t +φ). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом φ, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω₀ вокруг этой точки.

2. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре, их частота и период. Фазовые соотношения между колебаниями тока в контуре и напряжением на конденсаторе. Энергия свободных гармонических колебаний в колебательном контуре.

Колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R (рис. 1).

Р ассмотрим стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, у которого активное сопротивление мало (R=0), а индуктивность L и электроемкость С сосредоточены только в катушке и конденсаторе соответственно (контур с сосредоточенными параметрами). Пусть в какой-либо момент времени конденсатор С оказался заряженным. Обкладки конденсатора получили в начальный момент времени (t=0) заряды q_m и в этот момент между обкладками возникает электрическое поле, энергия которого . В следующие моменты времени конденсатор начинает разряжаться и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля W_э будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки – возрастать. Так как R=0, то на нагревание энергия не расходуется и, согласно закону сохранения энергии, полная энергия

.

Возрастающий ток разряда, создавая увеличивающееся магнитное поле, вызывает появление ЭДС самоиндукции (катушка поэтому обладает индуктивным сопротивлением , и конденсатор разряжается не мгновенно). В момент времени, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля, а, следовательно, и ток достигают максимального значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки и в ней индуцируется ток, который течет (по правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Когда ток прекратится, заряд на обкладках и электрическое поле конденсатора достигнут максимума, а энергия магнитного поля катушки станет равной нулю. Закончится первая половина периода электромагнитных колебаний и конденсатор окажется перезаряженным (поменяются знаки на обкладках). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении и система, к моменту времени t=T, придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассматриваемого цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если потерь энергии в контуре нет (R=0), то в контуре совершаются периодические (с периодом Т) и неизменные по амплитуде (незатухающие) колебания заряда q на обкладках конденсатора, напряжения U_с на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Причем, в течение первой половины периода ток идет в одном направлении, а в течение второй половины – в противоположном. Колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Исходя из этого правила, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R,

I R + U_c =  _s ,

где IR – напряжение на резисторе; U_с = q/C – напряжение на конденсаторе; – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока. Следовательно,

(1) (1)

Разделив уравнение (1) на L и подставив и , получим дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда q в контуре:

(2)

В данном колебательном контуре внешние ЭДС отсутствуют, поэтому рассматрисаемые колебания представляют собой свободные колебания. Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (2) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда q в контуре: . (3)

Решением этого уравнения является гармоническое колебание заряда по закону q = q_m cos (_ot + ), (4)

где q_m – амплитуда колебаний заряда с циклической частотой _o, называемой собственной частотой контура:

(5) (5)

и периодом, определяемым формулой Томсона:

T = 2 . (6)

Напряжение на конденсаторе

, (7)

где U_m = q_m/C – амплитуда напряжения. Продифференцировав функцию (4) по времени, получим выражение для силы тока

, (8) (8)

где I_m = _oq _m –амплитуда силы тока. Из сопоставления формул (4), (7) и (8), видно, что в момент, когда ток достигаем максимального значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в нуль и наоборот.