13. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть на интервале (a,b) (промежутке [a,b]) задана функция f(x). По определению функция F называется первообразной функцией для f(x) на интервале (a,b) (промежутке [a,b]) если F дифференцируема на нем и F0(x) = f(x) для всех x ∈ (a,b) (x ∈ [a,b], в крайних точках под производной понимаем производную слева или справа соответствен- но).

1) Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале.

Док-во: F’(x)=(f(x)+C)’=f(x).

2) Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция. Док-во: Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то F’(x)=F1’(x)=f(x), ⇒ (F1(x)-F(x))’=0, ⇒ (F1(x)-F(x))’=C=const, ⇒ F1(x)=F(x)+C.

3) Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx. Из этих свойств следует, что если F(x) – некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

14. Таблица интегралов.

Таблица интегралов

1.Z sinx dx = −cosx + c, Z cosx dx = sinx + c;

2.Z x^α dx =x^α+1/(α + 1)+ c (α ≠ −1), Z1/x dx = ln|x| + c;

3.Z a^x dx =a^x lna+ c; Z e^x dx = e^x (a > 0);

4.Z 1/(x² + a²)dx =1/a arctg |x/a|+ c, a > 0;

5.Z 1/(x² − a²) dx =1/(2a)ln |(x – a)/(x + a)|+ c, a > 0;

6.Z 1/√(x² + a)dx = ln |x +√(x² + a)| + c;

7.Z 1/cos² x dx = tgx + c;

8.Z 1/sin² x dx = −ctgx + c;

9.Z 1/√(a² − x²)dx = arcsin x/a+ c.

15. Формула интегрирования по частям, замена переменной для определенного и неопределенного интеграла.

Теорема 3. Пусть функции u(x),v(x) определены и дифференцируемы на некотором интервале (c,d) (или промежутке [c,d]) и пусть функция u’(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда, функция u(x)v’(x) имеет на (c,d) ([c,d]) первообразную и справедливо равенство Z u’(x)v(x)dx = u(x)v(x) − Z u(x)v’(x)dx. (1)

Равенство (1) может быть также записано в виде Z v(x)du = u(x)v(x) − Z

u(x)dv.

Доказательство. Имеем (uv)’ = u’v + uv’. Поскольку функции (uv)’ имеет первообразную uv, то из этого равенства вытекает, что и функция uv’ = (uv)’ – u’v имеет первообразную и справедливо равенство (1). Ч.т.д.

Теорема 13 (формула интегрирования по частям). Для непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций u(x),v(x) имеет место формула интегрирования по частям:

^bZ_a uэ(x)v(x)dx = u(x)v(x)|^b_a− ^bZ_a u(x)v’(x)dx, u(x)v(x) |^b_a= u(b)v(b) − u(a)v(a).

Доказательство. Произведение u(x)v(x) есть также непрерывно дифференцируемая функция на [a,b], имеющая, т.о., всюду на [a,b] производную, вычисляемую по формуле (u(x)v(x))’=(x)v’(x)+u’(x)v(x). Если учесть еще, что функции u’(x)v(x),u(x)v’(x) интегрируемы на [a,b], то в силу предыдущей теоремы

u(x)v(x|^b_a = ^bZ_a u’(x)v(x)dx + ^bZ_a u(x)v’(x)dx,

откуда следует утверждение теоремы.