7. Производная функции

Пусть вещественная функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Производной от f в точке x₀ называется предел

F’(x₀) = lim _∆x→0∆/f ∆x , ∆f = f(x₀ + ∆x) − f(x₀), (1)

если он существует и конечен. Положив ∆x = x − x₀, можем переписать равенство (1) в виде f'(x₀) = lim_x→x0 (f(x) − f(x₀))/(x − x₀), ∆f = f(x) − f(x₀). (2)

Теорема 1. Если f имеет производную в точке x₀, то f непрерывна в точке x₀.

Доказательство. Из существования предела вытекает, что

(f(x) − f(x₀)) /(x − x₀)= f’(x₀) + ε(x),

где ε(x) → 0 при ∆x → 0 – некоторая функция. Отсюда,

f(x) − f(x₀) = f’(x₀)(x − x₀) + ε(x)(x − x₀). (3)

Из этого равенства вытекает, что f(x) − f(x₀) → 0 при x → x₀ и значит ∃lim_x→x0 f(x) = f(x₀). Ч.т.д. Введем также понятие левой и правой производной от функции f в точке x₀:

f ₊(x₀) = lim _{∆x→0,∆x>0} ∆f/∆x, f’_-(x₀) = lim _{∆x→0,∆x<0}∆f/∆x.

Очевидно, что существуют правая и левая производные в точке x₀ и они равны, тогда и только тогда, когда существует производная в точке x₀. Говорим, что функция f дифференцируема в точке x₀, если найдется постоянная A такая, что в некоторой окрестности точки x₀ справедливо равенство f(x) − f(x₀) = A(x − x₀) + o(x − x₀). (4)

8. Дифференциал функции.

Теорема 2. Функция f имеет производную в точке x₀ ⇔ f дифференцируема в точке x₀.

Доказательство. Если f имеет производную в точке x₀, то справедливо равенство f(x) − f(x₀) = f’(x₀)(x − x₀) + ε(x)(x − x₀).

Исходя из определения имеем, что

ε(x)(x − x₀) = o(x − x₀)

при x → x₀. Таким образом, f дифференцируема в точке x₀, и постоянная A из определения дифференцируемости совпадает с f’(x₀). Обратно, если f дифференцируема, то

(f(x) − f(x₀))/(x − x₀)= A +o(x − x₀)/(x − x₀).

В силу определения величины o(x − x₀) предел в правой части этого равенства при x → 0 существует и совпадает с A. По определению производной получим, что производная существует и совпадает с A. Ч.т.д.

Следствие 1. Уравнение касательной к графику в точке x = x₀ имеет вид y = f’(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Дифференцируемость функции в точке имеет простой геометрический смысл: существование в этой точке касательной к графику функции. При этом производная функции есть тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. В этом состоит геометрический смысл производной. Если материальная точка проходит за время t расстояние S(t), то исходя из определения получаем, что производная v(t) = S’(t) есть скорость этой точки в момент времени t, соответственно, производная v’(t) есть ускорение точки в момент времени t. В этом состоит физический смысл производной. Говорим, что функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Говорим, что функция f(x) дифференцируема на промежутке [a,b], если она дифференцируема на интервале (a,b) и имеет правую и соответственно левую производные в точках x = a и x = b. Говорим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема на интервале (a,b) (промежутке [a,b]), если она дифференцируема на этом интервале (промежутке) и производная непрерывна на этом интервале (промежутке).

Пусть f дифференцируема в точке x₀. Тогда имеет место представление

∆f(x) = f’(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀) = f’(x₀)∆x + o(∆x).

При x → x₀ величина o(x−x₀) мала по сравнению с величиной f’(x₀)(x−x₀). Дифференциалом функции f в точке x₀ называется главная линейная часть приращения функции в точке x₀. По определению имеем, что дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен dy = f’(x₀)∆x.

Часто используется следующая формальная запись дифференциала: dy = f’(x₀)dx. Тогда можем записать f’(x₀) = dy/dx. При малых ∆x справедливо приближенное равенство f(x₀ + ∆x) ≈ f(x₀) + f’(x₀)∆x.

9. Таблица производных.

1) (sinx)’ = cosx, (cosx)’ = −sinx;

2) (tgx)’ = 1/cos²(x), (ctgx)’ = −1/sin²x;

3) (arcsinx)’ = 1/ √ (1 − x²), (arccosx)’ = −1/ √( 1 − x²);

4) (arctg x)’ = 1/(1 + x²) (arcctgx)’ = −1/(1 + x²);

5) (log _a x)’ = 1/(x ln a), (lnx)’ = 1/x, (a^x)’ = a^x lna, (e^x)’ = e^x;

6) (x^s)’ = sx^s−1.