6. Непрерывность функции.

Функция f(x)называется непрерывной в точке a, если она определена в некоторой окрестности точки x = a и предел f(x) при x → a существует и равен значению функции f(x) в точке a, т.е. lim_x→a f(x) = f(a). Если использовать определения предела функции, то это определение в развернутом виде может быть сформулировано следующим образом.

Определение 1. Функция f(x)называется непрерывной в точке a, если f определена в некоторой окрестности точки a и для любого ε > 0 найдется δ > 0 ∀x: |x − a| < δ выполнено, что |f(x) − f(a)| < ε.

Определение 2. Функция f(x)называется непрерывной в точке a, если f определена в некоторой окрестности точки a и для любой последовательности x_n → a выполнено, что f(x_n) → f(a).

Определение 3. Функция f(x)называется непрерывной в точке a, если f определена в некоторой окрестности точки a и для любой окрестности V точки f(a) найдется окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V . Как вытекает из Теорема 1 (о эквивалентности определений), эти три определения равносильны.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a, то и функции f(x)±g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) (при g ≠ 0) также непрерывны в точке a.

Доказательство. Утверждение вытекает из теоремы об арифметических свойствах пределов и определения непрерывности.

Теорема 2 (о непрерывности суперпозиции). Если функция f(x) непрерывна в точке a, а функция g(y) непрерывна в точке b=f(a), то и функция g(f(x)) также будет непрерывна в точке a.

Теорема 3 (1-я теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то она ограничена на [a,b].

Доказательство. Предположим противное. Тогда существует последовательность x_n такая, что x_n ∈ [a,b] ∀n и f(x_n) → ∞. Поскольку промежуток [a,b] – ограниченное множество, то по теореме Больцано-Вейерштрасса, существует подпоследовательность x_nk, x_nk → α при k → ∞. Поскольку a ≤ x_nk ≤ b то по теореме о сравнении пределов a ≤ α ≤ b. В силу определения 2 непрерывности, f(x_nk) → f(α). С другой стороны, f(x_nk) → ∞, противоречие.

Теорема 4 (2-я теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то существуют точки x₀,y₀ ∈ [a,b] такие, что f(x0) = sup x∈[a,b] f(x), f(y₀) = inf x∈[a,b] f(x).

Доказательство. Докажем утверждение для супремума. Пусть M = sup x∈[a,b] f(x). В силу основного свойства супремума, для любого n ∈ N существует точка xn ∈ [a,b] такая. что M − 1/n < f(xn) ≤ M. По теореме Больцано-Вейерштрасса, существует подпоследовательность x_nk последовательности x_n такая, что x_nk → α при k → ∞. Как и в теореме 3 получим, что α ∈ [a,b]. По непрерывности f(x_nk) → f(α) при k → ∞. С другой стороны, |M − f(x_nk)| ≤ 1/n_k → 0. В силу единственности предела заключаем, что f(α) = M. Утверждение для инфимума, вытекает из равенства inf x∈[a,b] f(x) = -sup x∈[a,b](−f(x)). Ч.т.д.

Пусть S ⊂ R и f – функция, определенная на S. Говорим, что f равномерно непрерывна на S, если ∀ε > 0 ∃ δ > 0: |f(x) − f(y)| < ε при |x − y| < δ, x,y ∈ S.

Теорема 5 (теорема Кантора). Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Теорема 6. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)*f(b) < 0 (т.е. функция принимает на концах промежутка значения разных знаков), то есть хотя бы одна точка c ∈ (a,b) такая, что f(c) = 0.

Теорема 7. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b] и строго монотонна, т.е. убывает или возрастает, Тогда R(f) = [A,B], где A = f(a),B = f(b), если f возрастает и A = f(b),B = f(a), если f убывает. Обратная функция f⁻¹(y) определена и непрерывна на [A,B].