4. Верхний и нижний пределы.

Теорема 10 (о свойствах нижнего и верхнего предела). Последовательность {x_n} имеет предел ⇔ lim _n→∞ x_n = lim _n→∞ x_n.

Доказательство. Если последовательность имеет предел, то все частичные пределы совпадают и значит lim _n→∞ x_n = lim _n→∞ x_n. Обратно, пусть lim _n→∞ x_n = lim _n→∞ x_n = a. Если последовательность x_n предела не имеет, то найдется окрестность точки a, вне которой содержится бесконечное количество членов последовательности. Эти члены образуют некоторую под-последовательность. Без ограничения общности считаем, что эта подпоследовательность сходится, иначе выделим из нее сходящуюся подпоследовательность, используя следствие из теоремы Больцано-Вейерштрасса. Однако, эта сходящаяся подпоследовательность не может сходиться к a. Тогда равенство lim _n→∞ x_n = lim _n→∞ x_n = a невозможно, противоречие. Ч.т.д.

Теорема 11 (о существовании верхнего и нижнего предела). Верхний и нижний пределы существуют у любой последовательности.

Доказательство. Если мы покажем существование верхнего предела, то отсюда вытекает и существование нижнего предела, поскольку нижний предел последовательности будет очевидным образом совпадать с − lim _n→∞ (-x_n). Покажем существование верхнего предела. Если предел последовательности существует, то по определению верхнего и нижнего предела и теореме 9 получим, что верхний предел существует и совпадает с пределом последовательности x_n. Если последовательность не ограничена сверху, то существует подпоследовательность x_nk: x_nk → +∞ при k → ∞. Тогда верхний предел существует и совпадает с +∞. Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда последовательность x_n ограничена сверху и предела не имеет. Тогда вне некоторой окрестности -∞ содержится бесконечное количество членов последовательности. Эти члены образуют ограниченную подпоследовательность и значит по теореме Больцано-Вейерштрасса, сама последовательность имеет по крайней мере один конечный частичный предел. Пусть A – множество частичных пределов последовательности x_n. Множество A не пусто и ограничено сверху. Пусть β = sup A. Рассмотрим последовательность ε_k = 1/k. Для каждого номера k можем найти частичный предел a ∈ A: β − ε_k/2 < a ≤ β. Поскольку a – частичный предел, найдется член последовательности x_nk: |x_nk −a| < ε_k/2. Тогда |x_nk −β| < ε_k → 0 при k → ∞. Таким образом, β ∈ A и множество частичных пределов имеет наибольший элемент. Ч.т.д.

5. Предел функции

Пусть E ⊂ R – числовое множество и f : E → R – числовая функция. Для числовых функций f,g : E → R определены операции сложения, вычитания, умножения и деления: f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x). Если f отображает множество E в E1 а g отображает E2 в E3 и E1 ⊂ E2, то можно определить сложную функцию F(x) = g(f(x)), которая еще называется суперпозицией функций g и f и обозначается g ◦ f. Функция F будет также определена на E. Множество пар (x,f(x)) (x ∈ D(f)) называется графиком функции f. Пусть U – окрестность точки a. Тогда множество U\{a} называется проколотой окрестностью точки a. В частности, если U – ε-окрестность точки a, то это множество называется проколотой ε-окрестность точки a.

Определение 1 (определение предела функции в точке в смысле Коши). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности U точки a и для любого ε > 0 ∃δ > 0: |f(x) − b| < ε ∀x ∈ U: |x − a| < δ.

Определение 2 (определение предела функции в точке в смысле Гейне). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки a и для любой последовательности xn → a при n → ∞ такой, что xn 6= a ∀n, выполняется, что f(xn) → b при n → ∞.

Определение 3 (определение предела функции на языке окрестностей). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки a и для любой окрестности V точки b найдется проколотая окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V .

Определение 1 имеет смысл только, если a,b – конечные точки, в то же время определения 2, 3 могут быть использованы и если a,b = ±∞,∞. Если число b является пределом функции f при x → a, то пишем b = lim x→a f(x).

Теорема 1 (о эквивалентности определений). Пусть b – конечная точка. Тогда определения 1-3 эквивалентны.

Доказательство. Пусть выполнено определение 1. Возьмем последовательность xn → a при n→∞, x_n≠ a. Пусть ε > 0, найдем δ > 0: |f(x) − b| < ε. По определению предела найдем номер N: |x_n −a| < δ при n > N. Тогда и |f(x_n)−b| < ε. Таким образом, f(x_n) → b при n → ∞. Обратно, пусть выполнено определение 2. Предположим противное, что определение 1 неверно. Тогда ∃ε > 0: ∀δ > 0 ∃x: |x−a| < δ и |f(x)−b| ≥ ε. Возьмем δ_n = 1/n и найдем соответствующие числа x_n: |x_n−a|<δn и |f(xn) − b| ≥ ε. Тогда xn → a и f(x_n) -/→ b, противоречие. Т.о., определения 2 и 1 эквивалентны. Покажем, что определение 1 и 3 эквивалентны. Пусть выполнено определение 1. Возьмем окрестность V точки b. По определению окрестности найдется ε-окрестность V₀ точки b: V₀⊂V . По определению 1 найдется δ > 0: |f(x) − b| < ε при всех x: |x − a| < δ. Это означает, что если U – δ-окрестность точки a, то f(U)⊂V₀⊂ V. Обратно, пусть выполнено определение 3. Возьмем ε-окрестность V точки b и найдем по определению 3, что ∃ проколотая окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V. Но проколотая окрестность U точки a содержит некоторую проколотую δ-окрестность U₀ точки a такую, что U0 ⊂ U и значит f(U₀) ⊂ f(U) ⊂ V . Отсюда вытекает, что |f(x)−b| < ε при всех x ≠ a : |x−a| < δ. Ч.т.д.