2. Числовая последовательность и ее предел.

Отображение F: N → R (или F: N → C) называется числовой последовательностью. Величина F(n) обычно обозначается через x_n и называется элементом последовательности. Обычно последовательность с элементами x₁,x₂,x₃,... обозначают через {x_n}. Мы будем рассматривать далее последовательности вещественных чисел, хотя основные утверждения остаются верными и в комплексном случае.

Говорим, что последовательность x_n не убывает (возрастает), если из того что n > m вытекает, что x_n ≥ x_m (x_n > x_m). Говорим, что последовательность x_n не возрастает (убывает), если из того что n > m вытекает, что x_n ≤ x_m (x_n < x_m). Не убывающая или не возрастающая последовательность называется монотонной последовательностью. В зависимости от того, будет ли множество A, состоящее из членов последовательности, ограниченным или ограниченным снизу (сверху), назовем последовательность ограниченной или ограниченной снизу (сверху). Таким образом, если последовательность {x_n} ограничена, то существует число M: |x_n| ≤ M ∀n.

Определение 1. Число a называется пределом последовательности xn при n → ∞, если ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N |x_n − a| < ε. Иногда удобно в качестве пределов последовательности рассматривать не только конечные числа, но числа ±∞,∞. Определение 1 годится лишь в случае, если a – конечное число.

Определение 2. Число a ∈ R называется пределом последовательности x_n при n → ∞, если для любой окрестности U точки a существует номер N: x_n ∈ U при всех n > N, или другими словами, вне любой окрестности точки a содержится конечное или пустое множество членов последовательности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся последовательностью. Если число a – предел последовательности xn, то пишем a = lim n→∞ xn или xn → a при n → ∞. Если a – конечное число, то определения 1 и 2 эквивалентны.

Теорема 1 (о эквивалентности определений предела). Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Пусть справедливо определение 1 и U - окрестность точки a. Существует ε-окрестность Uε точки a такая, что Uε ⊂ U. В силу определения 1 найдется номер N: |x_n − a| < ε при n > N. Но тогда x_n ∈ Uε ⊂ U ∀n > N. Обратно, пусть выполнено определение 2. Возьмем в качестве окрестности U ε-окрестность Uε точки a. По условию найдется номер N: x_n ∈ Uε ∀n > N. Но тогда |x_n − a| < ε при n > N. Ч.т.д.

3. Подпоследовательности, частичные пределы

Теорема 9 (о свойствах частичных пределов). Последовательность {x_n} имеет предел равный a ⇔ любая ее подпоследовательность сходится к a.

Доказательство. Если последовательность x_n имеет предел равный a, то вне любой окрестности точки a содержится конечное или пустое множество членов последовательности. Тогда и подпоследовательность обладает теми же свойством и значит имеет предел равный числу a. Обратно, пусть все подпоследовательности сходятся и сходятся к одному и тому же числу a. Покажем, что a = lim x_n. Если это не так, то найдется окрестность U точки a, вне которой находится бесконечное количество членов последовательности. Эти члены образуют некоторую подпоследовательность, которая не сходится к a, противоречие.

Теорема 12 (критерий Коши для последовательностей). Последовательность имеет конечный предел ⇔ ∀ε > 0 ∃N : ∀n,m > N |x_n − x_m| < ε. Замечание. Последовательность xn, удовлетворяющая условию ∀ε > 0 ∃N: ∀n,m > N |x_n − x_m| < ε, называется фундаментальной или последовательностью Коши, а само это условие условием Коши.

Доказательство. Пусть ∃ lim _n→∞ x_n = a < ∞. Для данного ε > 0 найдем номер N: |x_n − a| < ε/2 ∀n>N. Тогда

|x_n − x_m| ≤ |x_n − a| + |x_m − a| < ε ∀n,m > N

и значит условие Коши выполнено. Обратно, пусть выполнено условие Коши. Возьмем ε = 1 и найдем номер N : ∀n,m > N |x_n−x_m| < ε. Фиксируем номер m > N. Из последнего неравенства имеем, что |xn| ≤ |xm|+ε ∀n > N и значит последовательность xn ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность xnk → a при k → ∞. Фиксируем ε > 0 и найдем N: ∀n,m > N |x_n − x_m| < ε/2. Найдем номер K: ∀k > K |x_nk − a| < ε/2 и nk > N. Фиксируем такое k. Тогда при всех n > N

|x_n − a| ≤ |x_nk − x_n| + |x_nk − a| < ε.

Отсюда получим, что xn → a. Ч.т.д.