1. Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум.

Множество вещественных чисел и его подмножества. Грани множества на числовой прямой. Множество A ⊂ R называется ограниченным сверху, если ∃M ∈ R: x ≤ M ∀x ∈ A. Число M называется при этом верхней гранью множества A.

Определение 1. Наименьшая из всех верхних граней множества A называется точной верхней гранью множества A или супремумом и обозначается через sup A = sup_{x ∈A} x. Множество A ⊂ R называется ограниченным снизу, если ∃m ∈ R: m ≤ x ∀x ∈ A. Число m называется при этом нижней гранью множества A.

Определение 2. Наибольшая из всех нижних граней множества A называется точной нижней гранью множества A или инфимумом и обозначается inf A = inf_x∈A x. Если множество A не ограничено сверху (снизу), по определению полагаем, что supA = +∞, (inf A = −∞). Множество A ⊂ R называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу. Из определений вытекает, что множество A ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором конечном промежутке [m, M].

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup X.

Более формально:

 — множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества Xупорядоченного множества (или класса) M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается I inf X.

Теорема 1. (основное свойство супремума и инфимума). Число M является точной верхней (нижней гранью) множества X ⇔ M – верхняя (нижняя) грань X и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε (x < M + ε).

Доказательство. Пусть M = sup X. Если не существует x: x > M − ε, то x ≤ M − ε ∀x ∈ X и тогда (M –ε) – верхняя грань, что противоречит тому, что M – точная верхняя грань. Обратно, пусть M – верхняя грань и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε. Предположим противное, что M не является точной верхней гранью. Тогда найдется верхняя грань M₁ < M. Возьмем ε = M −M₁ и найдем x ∈ X: x > M −ε = M₁. Таким образом, M₁ – не верхняя грань, противоречие. Пусть M = inf X. Из определений вытекает, что число M есть инфимум множества X ⇔ −M – супремум множества −X = {−x: x ∈ X}. Тогда утверждение в случае инфимума вытекает из уже доказанного. Ч.т.д.

Замечание 1. Можно утверждение теоремы 1 взять в качестве эквивалентного определения супремума и инфимума. Важными примерами числовых множеств являются: интервал (a, b), отрезок (промежуток) [a, b] полуинтервалы [a, b), (a, b]. Пусть a ∈ R. Тогда множество (a − ε,a + ε) называется ε-окрестностью точки a. Множество X называется окрестностью точки a ∈ R, если найдется ε-окрестность U точки a: U ⊂ X. Иногда удобно дополнить множество вещественных чисел бесконечными числами +∞,−∞,∞. Множество X называется окрестностью точки +∞, −∞, или ∞, если найдется такое число M > 0, что (M,+∞) ⊂ X, (−∞,M) ⊂ X, или (−∞,M) ∪ (M,+∞) ⊂ X, соответственно. Приведем одно вспомогательное утверждение, которое вытекает непосредственно из определения вещественного числа, и будет использоваться позднее.

Лемма 1 (принцип вложенных отрезков). Пусть [a1,b1] ⊃ [a2,b2] ⊃ [a3,b3] ⊃ ... – последовательность вложенных промежутков. Тогда найдутся числа a, b ∈ R: a ≤ b и ∩^∞ _i=1[a_i,b_i] = [a,b].