18. Проверочная матрица (n,k) - кода. Построение, назначение, свойства

Проверочная матрица указывает соотношение между избыточными и информационными элементами в каждой кодовой комбинации.

Проверочная матрица позволяет формализовать процесс вычисления проверочных соотношений для любой кодовой комбинации, сведя его к произведению кодовой комбинации на проверочную матрицу по правилам умножения матриц: , то есть некоторая комбинация V принадлежит (n, k) – коду тогда и только тогда, когда она ортогональна каждой строке матрицы H_{(n, k)}. Соотношение лежит в основе процедуры декодирования для групповых кодов.

В результате умножения принятой комбинации на матрицу проверок получаем вектор из (n-k) символов, называемый синдромом. В случае, если синдром чисто нулевой, то кодовая комбинация считается принятой безошибочно. При наличии в синдроме ненулевых компонент фиксируется наличие ошибок в кодовой комбинации.

19. Связь между порождающей и проверочной матрицами (n,k) - кода

порождающая матрица (n, k) – кода является сокращенной записью кода. Проверочная матрица указывает соотношение между избыточными и информационными элементами в каждой кодовой комбинации. Между порождающей и проверочной матрицами в канонической форме существует жесткая связь, на основе которой знание одной матрицы позволяет построить другую.

20. Процедуры кодирования групповых кодов на основе порождающей и проверочной матриц

1.Процедура кодирования на основе порождающей матрицы

Пусть требуется получить кодовую комбинацию (n,k)-кода V_i, соответствующую некоторому сообщению источника информации, представленному в виде безызбыточной k-элементной последовательности k_i. Эта задача решается составлением линейной комбинации строк порождающей матрицы: V_i=k_i1V₁+k_i2V₂+…+ k_ikV_k, где Vj, j=1…k,-кодовые комбинации (n,k)-кода, являющиеся строками канонической формы порождающей матрицы этого кода, k_i,j- элементы кодируемой k- элементной последовательности.

Указанная линейная комбинация соответствует умножению последовательности k_i на порождающую матрицу кода, представленную в канонической форме: k_i ×G_(n,k)=k_{i ×} [RI_k]=(k_iR,k_i ). В результате умножения получим n-элементную кодовую комбинацию V_i, у которой на местах избыточных элементов (v_1,v_2,…v_n-k) находятся последовательность r_i=k_iR, а на местах информационных элементов- (v_n-k+1,…,v_n )- исходная кодируемая последовательность k_i.

2._. Процедура кодирования на основе проверочной матрицы.

В этом случае процедура кодирования основана на известном уравнении. V_i×H^T_(n,r)=0. Представим V_i в виде (r_i,k_i), где r_i - последовательность избыточных элементов кодовой комбинации, а k_i - последовательность информационных элементов. Представляя H^T_(n,k) в канонической форме, получаем: (r_i,k_i)×[I_n-kR^T ]^T=r_i+k_iR=0, откуда r_i=k_iR.. Из полученного решения видно, что избыточные элементы в точности совпадают с избыточными элементами при кодировании на основе G_(n,k) В тех случаях, когда (n-k)<k или ^k ∕ n > ¹∕2, кодирование на основе проверочной матрицы H(_n,k) требует меньшего количества вычислений.