32. Принципы построения генераторов поля gf (2m)

Регистр сдвига с обратными связями, реализующий деление любого многочлена на многочлен g(x) степени n-k=m, после завершения деления содержит остаток от деления r(x) = r₀x⁰+r₁x¹+r₂x²+…+r_m-1x₀^m-1.

Он может быть представлен в виде последовательности длины m-(r₀, r₁, r₂, .. ,r_m-1)

Многочлен r(x) является представителем классов вычетов многочленов по модулю многочлена g(x). При этом каждый класс вычетов содержит либо 0, либо многочлен степени m-1 и менее. Ноль является элементом идеала, а все многочлены r(x) степени m-1 и менее принадлежат различным классам вычетов. Общее число классов вычетов вместе с идеалом равно 2^m.

В том случае, когда многочлен g(x) – неприводим, множество {r(x)} с коэффициентами r_i из поля GF(2) образует поле Галуа GF(2^m). Как известно ненулевые элементы этого поля образуют циклическую группу α⁰, α¹,…,α^2m-2,α^2m-1=α⁰, где α -класс вычетов, содержащий r(x) = x, т.е. корень g(x) и примитивный элемент поля.

Определим, каким образом можно преобразовать схему рис 6.4 в генератор элементов поля GF(2^m). В схеме деления на g(x) каждый из остатков r(x) может быть получен в результате подачи xⁱ на вход схемы и осуществления процедуры деления в течение i тактов, т.е. остаток от деления появится точно на i- м такте.

Этот результат можно получить, если в схеме деления убрать вход, а цепь обратной связи подать непосредственно на вход ячейки r₀. При этом для генерирования элементов поля как последовательности степеней αⁱ в виде m-значных двоичных чисел, записанных в ячейках регистра необходимо предварительно в ячейку r₀ записать «1». В этом случае в исходном состоянии на нулевом такте работы рассматриваемой схемы как генератора элементов GF(2^m) будет записан остаток от деления x⁰ на g(x). Элемент поля αⁱ появится в регистре на i-м такте, что соответствует подаче на вход схемы деления xⁱ на нулевом такте.

Все 2^m-1 не нулевых элементов GF(2^m) , будут получены за 2^m-1 тактов работы схемы. До m-1 такта работы схемы включительно регистр будет содержать в своих ячейках только одну единицу и m-1 нулей. На m-м такте содержимое регистра станет равным g'(x)=g(x)+x^m , где g'(x)- многочлен, состоящий из всех слагаемых g(x), кроме слагаемого старшей степени x^m. В силу того, что g(x) принадлежит идеалу, т.е. {g(x)}={0}, получаем g^’(x)=x^m.

Продолжая сдвиги, получим, что на m+1 такте содержимое ячеек регистра будет соответствовать xg(x), т.е. подаче на вход схемы деления на нулевом такте x^m+1 и т.д. Так будет продолжаться до тех пор, пока содержимое ячеек регистра не станет эквивалентным подаче на вход схемы деления xⁿ. Это состояние регистра соответствует α⁰=1,т.к. xⁿ=1( см.6.1). В силу того, что многочлен g(x) примитивен, он принадлежит показателю n=2^m-1. Это означает, что до возвращения в состояние α⁰=1 в регистре генератора на различных тактах работы появятся с учётом нулевого такта все ненулевые последовательности длины m и каждая только один раз.

33. Принцип построения декодирующего устройства циклического кода для исправления ошибок — декодер меггита

Исправление ошибок циклическим кодом – задача достаточно сложная как в теоретическом, так и в практическом, т.е. схемном отношении. На рисунке 6.18 показана структурная схема декодирующего устройства, предназначенная для исправления ошибок произвольной кратности в комбинации циклического кода.

Принятая кодовая комбинация вводится в буферное запоминающее устройство (БЗУ) и одновременно в схему вычисления синдрома (СВС)Между синдромом и предполагаемой комбинацией ошибок (образующий элемент смежного класса) имеется взаимно однозначное соответствие, определяемое комбинаторной логической схемой (КЛС). КЛС строится таким образом, чтобы на ее выходе появилась 1 всякий раз, когда при выводе информации из БЗУ предполагается появление ошибочного элемента, т.е. 1 на выходе КЛС должна всегда соответствовать старшей степени многочлена ошибок e(x) содержащегося в той части кодовой комбинации, которая еще содержится в БЗУ.Одновременно с появлением из БЗУ каждого элемента производится сдвиг в СВС. Если символ, появляющийся на выходе БЗУ подлежит исправлению, то синдром также должен быть изменен, для чего с выхода КЛС 1 подается как на выход БЗУ, так и на вход СВС. Это делается для того, чтобы синдром соответствовал каждому изменению принятой комбинации.Второй и третий шаги повторяются до тех пор, пока вся принятая комбинация не будет считана из БЗУ. Каждому разряду, считываемому из БЗУ, должен соответствовать сдвиг на один разряд вправо одновременно в БЗУ и в КЛС.После того, как считана вся принятая комбинация, будут исправлены все ошибки, соответствующие образцам ошибок, предусмотренным КЛС, и в разрядах регистра СВС останутся одни нули. Если после окончания процедуры исправления в разрядах регистра содержатся не только нули, то это значит, что обнаружена ошибка, не исправляемая с помощью данной КЛС.