27. Порождающая и проверочная матрицы циклических кодов

Любой циклический (n, k) – код может быть задан порождающим многочленом g(x) или проверочным многочленом . Знание этих многочленов позволяет построить порождающую матрицу и матрицу проверок. Для циклического (n, k) – кода существует простой способ нахождения k линейно независимых кодовых комбинаций, образующих порождающую матрицу . Этот способ состоит в следующем. Записывается порождающий многочлен g(x). Комбинация, соответствующая порождающему многочлену, принадлежит циклическому (n, k) – коду. Циклические сдвиги комбинации, соответствующей g(x), также должны принадлежать этому же коду. Алгебраически сдвиг соответствует умножению кодовой комбинации на х. Так как степень g(x) равна n-k, то подобным образом мы можем получить кодовые комбинации

Легко проверить, что эти кодовые комбинации линейно независимы, хотя бы потому, что степени всех этих многочленов различны, поэтому данный набор многочленов может быть использован в качестве : .

Путем элементарных преобразований эта матрица может быть приведена к канонической форме.

Аналогичным образом по проверочному многочлену можно построить матрицу проверок .

28. Коды бчх

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема.

Определение корректирующих свойств циклических кодов, предназначенных для коррекции многократных ошибок, сводится к определению минимального кодового расстояния этих кодов или к установлению максимальных значений кратностей гарантийно исправляемых или обнаруживаемых ошибок.

Теорема 1. Для любых значений l и t существует циклический код длины , исправляющий все ошибки кратности t и менее и содержащий не более проверочных символов.

Теорема 2. Если среди корней порождающего многочлена циклического (n, k) – кода имеются корни вида то минимальное расстояние этого кода равно, по меньшей мере, d.

Циклические коды, удовлетворяющие этим теоремам получили название кодов БЧХ.

Коды БЧХ - обширный класс кодов, предназначенный в первую очередь для исправления многократных ошибок. Коды БЧХ включают в свой состав коды Хэмминга и обобщают их на случай t>1.

Коды БЧХ существуют над полем GF(q), где q≥2. При этом Теорема 1, сформулированная для случая q=2, может быть обобщена для q>2. Теорема 2 справедлива для q≥2 и будет использована при изучении недвоичных циклических кодов.

29. Процедуры кодирования и декодирования для циклических кодов на основе порождающего многочлена

Преобразование комбинации первичного k – разрядного кода в комбинацию циклического (n, k) – кода может быть осуществлено либо при помощи порождающего многочлена g(x), либо при помощи проверочного многочлена h(x).

а) Процедура кодирования для циклического кода по g(x).

Любой циклический (n, k) – код может быть получен в результате следующего процесса. Пусть - многочлен степени n-1, в качестве коэффициентов которого при степенях выбраны информационные символы кодовой комбинации циклического (n, k) – кода, а коэффициенты при степенях х, меньших, чем n-k, равны 0. Тогда результат деления на порождающий многочлен кода g(x), степень которого, как известно, равна n-k, может быть представлен в виде , где степень r(x) меньше n-k.

б) Процедура кодирования для циклического кода по h(x).

Для проверочного многочлена h(x) степени k циклического (n, k) – кода справедливо или .

для кодирования по проверочному многочлену необходимо иметь устройство для решения рекуррентных соотношений типа

в) Процедура декодирования для циклических кодов

В основе процедуры декодирования лежит процесс выявления принадлежности принятой комбинации к множеству разрешенных кодовых комбинаций. Эта задача решается, вычислением синдрома для принятой комбинации .