24. Итеративные коды. Характеристика. Область применения
На основе (n, n-1) – кодов с dmin=2 или кодов Хэмминга с dmin=3 и dmin=4 можно построить коды с более высокими корректирующими свойствами. Для этой цели, наряду с защитой каждой передаваемой комбинации описанным выше способом, осуществляют помехоустойчивое кодирование одноименных разрядов групп передаваемых комбинаций. Комбинации простого кода, подлежащие передаче по системе связи, записываются в виде таблицы – каждая комбинация составляет отдельную строку этой таблицы (информационные символы). Затем осуществляется кодирование по строкам и столбцам. Избыточные элементы дописываются к каждой строке (проверка по строкам) и к каждому столбцу (проверка по столбцам). Проверка проверок осуществляется кодированием столбцов, составленных из избыточных элементов строк или кодированием строк, составленных из проверок столбцов. В результате итеративного кодирования получаются групповые коды, которые обладают следующим важным свойством.
Теорема. Минимальное кодовое расстояние итеративного кода равно произведению минимальных кодовых расстояний, кодов, его составляющих.
если
в случае двух проверок минимальный вес
одного кода равен
,
а другого
,
то вектор итеративного кода имеет, по
крайней мере,
единиц в каждой строке и
элементов в каждом столбце и, следовательно,
не менее
единиц.
25. Укорочение и удлинение групповых кодов
На основе группового (n, k) – кода можно построить также групповой (n- i, k-i) – код, если в каждой кодовой комбинации (n, k) – кода исключить i информационных символов.
Порождающая матрица (n- i, k-i) – кода получается из канонической формы матрицы G(n, k) вычеркиванием i последних строк и i последних столбцов. Проверочная матрица (n- i, k-i) – кода получается из канонической формы Н(n,k) вычеркиванием i последних столбцов. Поскольку при этом число линейно зависимых столбцов матрицы проверок уменьшиться не может, то dmin нового кода и его корректирующие свойства не хуже, чем у исходного кода.
процедура, приведшая к удлинению кодовой комбинации на один разряд при увеличении dmin на 1 единицу, получила название удлинения кода (1- удлинение).Удлинению могут быть подвергнуты, например, коды Рида-Соломона.
26. Циклические коды. Определение. Структура. Порождающий и проверочный многочлены
Среди многообразия групповых кодов особое место занимают циклические (n,k) - коды. Циклические коды отличаются простотой реализации, возможностью построения кода любой длины с известными корректирующими свойствами, рациональным соотношением между избыточностью и корректирующей способностью (в этом отношении они близки к границе Хэмминга).
Определение
1. Циклическим кодом называют, групповой
(n,
k)
– код, обладающий следующим свойством:
для любой кодовой комбинации
этого кода комбинация
,
полученная циклическим сдвигом элементов
на единицу вправо, также принадлежит
этому коду.
Определение
2. Циклическим (n,
k)
– кодом называется код, множество
кодовых комбинаций которого представляется
совокупностью многочленов степени n-1
и менее, делящихся на некоторый многочлен
g(x)
степени (n-k)
, являющийся сомножителем двучлена
.
Групповая структура циклических кодов определяется тем, что, во-первых, операция сложения многочленов совпадает с операцией сложения векторов, во-вторых, совокупность многочленов, делящихся на некоторый многочлен g(x), должна быть замкнута в отношении операции сложения, т.к., если каждое из слагаемых делится на g(x), то их сумма делится на g(x) и степень суммы не старше степеней слагаемых, в-третьих, нулевая комбинация принадлежит циклическому коду, т.к. 0 делится без остатка на g(x).
Многочлен
g(x)
принято называть порождающим или
образующим многочленом циклического
кода. С другой стороны циклический (n,
k)
– код может быть задан через двойственный
(n,
n-k)
– код, порожденный многочленом
Так как
,
то
ортогонален g(x)
и называется проверочным многочленом.