2.. Процедура кодирования на основе проверочной матрицы.

В этом случае процедура кодирования основана на известном уравнении. V_i×H^T_(n,r)=0. Представим V_i в виде (r_i,k_i), где r_i - последовательность избыточных элементов кодовой комбинации, а k_i - последовательность информационных элементов. Представляя H^T_(n,k) в канонической форме, получаем: (r_i,k_i)×[I_n-kR^T ]^T=r_i+k_iR=0, откуда r_i=k_iR.. Из полученного решения видно, что избыточные элементы в точности совпадают с избыточными элементами при кодировании на основе G_(n,k) В тех случаях, когда (n-k)<k или ^k ∕ n > ¹∕2, кодирование на основе проверочной матрицы H(_n,k) требует меньшего количества вычислений.

21. Процедуры декодирования групповых кодов на основе таблицы декодирования

Процесс декодирования при использовании таблицы декодирования для исправления ошибок заключается в следующем: 1. Для принятой комбинации вычисляется синдром и определяется смежный класс, которому принадлежит принятая комбинация. 2. Определяется образующий смежного класса, которому принадлежит принятая комбинация, являющийся предполагаемой ошибкой. 3. Суммируя по модулю 2 предполагаемый образец ошибки с принятой комбинацией, получаем переданную комбинацию.

Таким образом, при исправлении ошибок в кодовой комбинации указанным методом количество исправляемых ошибок не может превышать числа смежных классов, и в точности равно этому числу в тех случаях, когда в каждом смежном классе имеется единственная комбинация, соответствующая наиболее вероятной структуре ошибок.

22. Коды с проверкой на четность (нечетность). Характеристика. Область применения

Простейший помехоустойчивый код для обнаружения ошибок можно получить, если ввести одну проверку на четность по всем элементам без избыточного сообщения, т.е. к передаваемому k – разрядному сообщению добавить еще один разряд, являющийся результатом суммирования всех элементов сообщения по модулю 2.

Полученный таким образом код является групповым и может быть обозначен (n, n-1) –код. Проверочная матрица (n, n-1) –кода состоит из одной строки и n столбцов. В качестве всех столбцов проверочной матрицы записываются 1.

Так как все столбцы проверочной матрицы одинаковы, то минимальное кодовое расстояние в (n, n-1) –коде равно 2, т.е. (n, n-1) –код гарантийно обнаруживает все однократные ошибки.

В каждой кодовой комбинации (n, n-1) –кода имеется четное число единиц. Таким образом, код дополнительно может обнаружить все ошибки, приводящие к изменению четности единиц, т.е. ошибки любой нечетной кратности. Ошибки же четной кратности кодом не обнаруживаются.

Одним из первых помехоустойчивых кодов, нашедших применение на практике, является шестиэлементный код, получаемый из пятиэлементного простого кода добавлением одного избыточного элемента так, чтобы число единиц и нулей в каждой кодовой комбинации было четным.

23. Коды хемминга. Характеристика. Область применения

Кодом Хэмминга называется (n, k) – код, который задается матрицей проверок H_(n,k), имеющей строк и столбцов, причем столбцами H_(n,k) являются все различные ненулевые двоичные последовательности длины m (m – разрядные двоичные числа от 1 до ).

Длина кодовой комбинации кода Хэмминга равна .

Число информационных элементов определяется как .

код Хэмминга полностью задается числом m – количеством проверочных элементов в кодовой комбинации.

для любого (n, k) – кода Хэмминга d_min=3.

Код Хэмминга является одним из немногочисленных примеров совершенного кода. поскольку (n, k) – код Хэмминга исправляет все одиночные ошибки, то все образцы одиночных ошибок должны разместиться в различных смежных классах. Следовательно, помимо смежных классов, содержащих образцы одиночных ошибок, никаких других в таблице декодирования не имеется, что и подтверждает совершенность кода Хэмминга.

В силу того, что для любого числа n существует код Хэмминга, любой групповой код с исправлением одиночных ошибок принято называть кодом Хэмминга.