16. Определение и основные свойства групповых (n,k) - кодов

Групповым кодом называю такой код, множество кодовых комбинаций которого образует группу (подгруппу) по операции поразрядного сложения по модулю 2

Свойство 1. Минимальное кодовое расстояние группового кода равно минимальному весу его ненулевых кодовых комбинаций.

Свойство 2. Групповой (n, k) – код полностью определяется набором из k линейно независимых комбинаций, принадлежащих этому коду.

Свойство 3. Скалярное произведение любой кодовой комбинации на проверочный вектор равно нулю.

Свойство 4. Если есть порождающая матрица систематического (n, k) – кода в канонической форме, то нулевое пространство этого кода порождается матрицей .

17. ПОРОЖДАЮЩАЯ МАТРИЦА (N,K) - КОДА. ПОСТРОЕНИЕ, НАЗНАЧЕНИЕ, СВОЙСТВА

Порождающая матрица (n, k) – кода в канонической форме задает тот же самый код, что и исходная порождающая матрица, т.к. пространства строк этих матриц совпадают в силу выполнения свойства замкнутости.

Если есть порождающая матрица систематического (n, k) – кода в канонической форме, то нулевое пространство этого кода порождается матрицей .

18. ПРОВЕРОЧНАЯ МАТРИЦА (N,K) - КОДА. ПОСТРОЕНИЕ, НАЗНАЧЕНИЕ, СВОЙСТВА

Проверочная матрица указывает соотношение между избыточными и информационными элементами в каждой кодовой комбинации.

Проверочная матрица позволяет формализовать процесс вычисления проверочных соотношений для любой кодовой комбинации, сведя его к произведению кодовой комбинации на проверочную матрицу по правилам умножения матриц: , то есть некоторая комбинация V принадлежит (n, k) – коду тогда и только тогда, когда она ортогональна каждой строке матрицы H_{(n, k)}. Соотношение лежит в основе процедуры декодирования для групповых кодов.

В результате умножения принятой комбинации на матрицу проверок получаем вектор из (n-k) символов, называемый синдромом. В случае, если синдром чисто нулевой, то кодовая комбинация считается принятой безошибочно. При наличии в синдроме ненулевых компонент фиксируется наличие ошибок в кодовой комбинации.

19. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОРОЖДАЮЩЕЙ И ПРОВЕРОЧНОЙ МАТРИЦАМИ (N,K) - КОДА

порождающая матрица (n, k) – кода является сокращенной записью кода. Проверочная матрица указывает соотношение между избыточными и информационными элементами в каждой кодовой комбинации. Между порождающей и проверочной матрицами в канонической форме существует жесткая связь, на основе которой знание одной матрицы позволяет построить другую.

20. ПРОЦЕДУРЫ КОДИРОВАНИЯ ГРУППОВЫХ КОДОВ НА ОСНОВЕ ПОРОЖДАЮЩЕЙ И ПРОВЕРОЧНОЙ МАТРИЦ

1.Процедура кодирования на основе порождающей матрицы

Пусть требуется получить кодовую комбинацию (n,k)-кода V_i, соответствующую некоторому сообщению источника информации, представленному в виде безызбыточной k-элементной последовательности k_i. Эта задача решается составлением линейной комбинации строк порождающей матрицы: V_i=k_i1V₁+k_i2V₂+…+ k_ikV_k, где Vj, j=1…k,-кодовые комбинации (n,k)-кода, являющиеся строками канонической формы порождающей матрицы этого кода, k_i,j- элементы кодируемой k- элементной последовательности.

Указанная линейная комбинация соответствует умножению последовательности k_i на порождающую матрицу кода, представленную в канонической форме: k_i ×G_(n,k)=k_{i ×} [RI_k]=(k_iR,k_i ). В результате умножения получим n-элементную кодовую комбинацию V_i, у которой на местах избыточных элементов (v_1,v_2,…v_n-k) находятся последовательность r_i=k_iR, а на местах информационных элементов- (v_n-k+1,…,v_n )- исходная кодируемая последовательность k_i.