36. Генератор последовательности максимальной длины. Построение, работа, область применения

В аппаратурных псевдослучайных датчиках и узлах ЭВМ при генерировании с равномерным распределением наиболее часто используется метод, который заключается в получении линейной двоичной последовательности по рекуррентному выражению: где i - номер такта; символы выходной последовательности; постоянные коэффициенты. При соответствующем выборе коэффициентов {a_к} генерируемая числовая последовательность имеет максимальную (для данного m)величину периода и называется М-последовательностью. Одним из главных преимуществ метода генерирования ПС – последовательностей максимальной длины является простота его реализации.

Генератор М-последовательности может быть построен двумя методами, отличающимися способом включения сумматоров по модулю два: они могут включаться как в цепь обратной связи генератора, так и в меж разрядные связи элементов памяти регистров сдвига.

Структурная схема генератора М – последовательности, построенного по способу включения сумматоров в цепь обратной связи представлена на рис.

Генератор М-последовательности с сумматорами по модулю два, стоящими в цепи обратной связи: а_i,a_i-1,a_i-2,.a_i-m – символы последовательности; a_i – коэффициенты, определяющие вид обратной связи.

37. Коды на основе последовательностей максимальной длины

Совокупность всех последовательностей максимальной длины представляет собою циклический - код. Эти коды являются двойственными к циклическим кодам Хэмминга, так как для них проверочными многочленами служат неприводимые многочлена степени k, являющиеся сомножителями двучленов степени и не входящие в разложение никаких двучленов меньших степеней.

Рассмотрим некоторые свойства таких кодов.

Свойство 1 Все множество ненулевых кодовых комбинаций кода на основе последовательностей максимальной длины может быть получено путем циклического сдвига любой ненулевой кодовой комбинации.

Действительно, генератор последовательности максимальной длины генерирует непрерывно все решений рекуррентного соотношения, которые представляют собою циклические сдвиги последовательности максимальной длины, а так как число ненулевых решений равно , то все они и являются ненулевыми кодовыми комбинациями и нет никаких других ненулевых кодовых комбинаций.

Свойство 2 Кодовое расстояние в коде на основе последовательностей максимальной длины между любыми парами кодовых комбинаций постоянно и равно d =2 ^k-1 .

Равенство всех попарных кодовых расстояний является непосредственным следствием свойства 1, которое обусловило равенство весов всех ненулевых кодовых комбинаций.

Коды, имеющие одинаковое кодовое расстояние между различными кодовыми комбинациями получили название эквидистантных.

38. Коды рида-соломона. Построение, характеристики, область применения

Кодом Рида-Соломона (РС-кодом) называют циклический (N,K)-код, при N=q–1, множество кодовых комбинаций которого представляется многочленами степени N–1 и менее с коэффициентами из поля GF(q), где q>2 и является степенью простого числа, а корнями порождающего многочлена являются N–K последовательных степеней: α, α ², α ³, …, α ^D–1, некоторого элемента αGF(q), где D– минимальное кодовое расстояние (N,K)-кода.

Из определения вытекает, что РС-код является подклассом БЧХ-кодов с m₀=1. Обычно считают элемент α¹ примитивным элементом поля GF(q), т.е. все степени α от 0-й до (q–1)-й являются всеми различными ненулевыми элементами поля GF(q). Порождающий многочлен РС-кода имеет степень N–K=D–1.

В соответствии с теорией циклических кодов, порождающий многочлен g(x) является делителем x^N–1 над GF(q).

Таким образом, РС-код над полем GF(q) имеет длину кодовой комбинации N=q–1, число избыточных элементов в ней N–K=D–1 и минимальное кодовое расстояние D=N–K+1(граница Синглтона).

Коды с подобным значением минимального кодового расстояния в теории кодирования получили название максимальных, или кодами с максимально достижимым расстоянием.

При фиксированных N и K не существует кода, у которого минимальное кодовое расстояние больше, чем у РС-кода. Этот факт часто является веским основанием для использования РС-кодов. В то же время РС-коды всегда оказываются короче всех других циклических кодов над тем же алфавитом. РС-коды длины N<q–1 называют укороченными, а коды длины q (или q+1) – расширенными (удлиненными) на один (или два) символа. В РС-коде может быть выбрано и другое значение m₀, если это оправдано.

39. БЫСТРОЕ ДЕКОДИРОВАНИЕ КОДОВ БЧХ, АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВОГО УРАВНЕНИЯ ( ПИТЕРСОНА, БЕРЛЕКЕМПА — МЕССИ,ЕВКЛИДА ). АЛГОРИТМ ФОРНИ

декодирование кодов БЧХ на основе решения ключевого уравнения распадается на два этапа.

I этап — вычисление многочлена локатора ошибок Λ(х). Для двоичных кодов БЧХ этим этапом декодирование завершается.

II этап - для недвоичных кодов, какими являются РС-коды, вычисление многочлена значений ошибок Ω(х), позволяющего вычислять значение каждой из υ ошибок в принятой комбинации.

Для нахождения многочлена локаторов ошибок из литературы известны три алгоритма:

а). Алгоритм Питерсона.

Питерсон представил ключевое уравнение в матричной форме:

Таким образом, задача определения коэффициентов многочлена локаторов ошибок сводится к прямому решению системы v линейных уравнений с v неизвестными.

б) Алгоритм Евклида - алгоритм СКХН (Сугияма, Касахара, Хирасава и Намекава)

алгоритм Евклида решения ключевого уравнения по методу У. Сугиямы и др. сводится к следующему:

1. Применить алгоритм Евклида к а(х)=х^2t и b(x)=S(x).

2. Использовать начальные условия: Λ_-1(х)=0, Λ₀(х)=1, Ω_-1(x)=x^2t, Ω₀(x)=S(x).

3. Остановиться, если deg[Ω_i(x)]< t.

4. Положить Λ(х)= Λ_i(x) и Ω(x)= Ω_i(x).

в) Алгоритм Берлекемпа-Месси.

Этот алгоритм был предложен Э. Берлекемпом и Дж. Месси как итеративный процесс построения минимального линейного регистра сдвига с обратной связью, аналогичного схеме решения разностных уравнений, генерирующего все компоненты синдромного многочлена S(x) no υ первым.

Целью алгоритма является нахождение коэффициентов многочлена локаторов ошибок Λ(х)_, значение которых определяет вид обратных связей регистра.

г) Алгоритм Форни

Форни получил выражение для вычисления значения ошибки, если известны многочлены значения ошибок Ω(x) и локаторов ошибок: , где Х_l^-1- корень многочлена Λ(х), обратный локатору ошибки Х_l, Λ^′(Х ) –производная от много члена Λ(х).