Энергетические соотношения в цепях синусоидального тока

В цепях синусоидального тока принято говорить о мгновенной мощности.

Мгновенная мощность цепи равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

Положив ; с последующим переходом к действующим значениям ( ) выражение для мгновенной мощности приобретает вид:

.

Первый член правой части есть мгновенная активная мощность, второй член есть мгновенная индуктивная мощность, третий член есть мгновенная емкостная мощность.

Мгновенная активная мощность включает в себя две составляющие:

постоянная составляющая - активная мощность [Вт];

переменная составляющая .

Тогда

.

Рассмотрим суммарную мощность реактивных участков цепи:

,

где - реактивная мощность [В∙Ар].

Теперь можем записать мгновенную мощность всей цепи:

Таким образом, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и переменную составляющую, угловая частота которой в два раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Амплитуда переменной части мгновенной мощности всей цепи равна:

- называется полной мощностью [В∙А].

Когда мощность положительна, цепь получает энергию от источника; когда мощность отрицательна, цепь отдает энергию источнику. Возврат энергии источнику получается за счет энергии поля того из реактивных участков цепи, мощность которого больше (на рисунке за счет индуктивности).

Если умножить все стороны треугольника сопротивлений на общий множитель , получается подобный ему прямоугольный треугольник мощностей с гипотенузой, равной полной мощности S катетом, равным активной мощности Р и другим катетом, равным реактивной мощности Q.

Из треугольника мощностей следует, что .

Полная мощность S является характерной величиной для любой электрической установки работающей на переменном токе и будет тем выше, чем ближе к единице значение , называемого коэффициентом мощности.

Полная мощность есть та максимальная активная мощность, которая может быть получена при данных действующих значениях напряжения и тока.

Комплексный метод расчета электрических цепей

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется комплексным методом.

Существует несколько форм представления комплексного числа:

- алгебраическая форма: ;

- показательная (или экспоненциальная) форма: ;

- тригонометрическая форма: .

Эти формы связаны между собой соотношениями: - модуль комплексного числа; - главное значение аргумента комплексного числа.

Для геометрического изображения используют прямоугольную систему координат, в которой по горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые.

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употреб­ляют также обозначения: , .

Полезно запомнить следующие соотношения:

; ; ; , и т.д.

Кроме того: ; .

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называются сопря­женными.

Если , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме . При этом соблюдается равенство: .

Пусть имеем синусоидально изменяющийся ток с начальной фазой ψ_i :

.

Комплексное изображение синусоидального тока, при заданной угловой частоте ω, определяется двумя величинами: амплитудой и начальной фазой.

,

где - комплексная амплитуда тока.

Тогда

.

Рассмотрим производную по времени от синусоидального тока:

.

Комплексное изображение производной будет иметь вид:

.

Таким образом, операция дифференцирования действительной функции заменяется умножением ее комплексного изображения на .

Рассмотрим изображение интеграла от сину­соидальной функции тока.

.

Комплексное изображение интеграла будет иметь вид:

.

Следовательно, операция интегрирования действительной функции сводится к делению ее комплексного изображения на .

Таким образом, комплексный метод позволяет заменить интегро-дифференциальное уравнение, содержащее функции времени, алгебраическим уравнением с их комплексными изображениями.

Алгоритм метода:

1. Замена заданных функций времени их комплексными изображениями.

2. Замена всех уравнений, составленных по закону Кирхгофа, алгебраическими уравнениями для комплексных изображений.

3. Отыскание комплексных изображений искомых функций.

4. Переход к оригиналам этих функций.

В качестве примера рассмотрим цепь с последовательно соединенными элементами R,L и C, к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону . Требуется найти ток в цепи: .

1) Заменяем функции времени их изображениями: , .

2) Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

Полученное уравнение является алгебраическим. Все слагаемые имеют общий множитель . Окончательно получаем уравнение в комплексных амплитудах:

.

3) Из последнего уравнения легко определяется комплексная ам­плитуда тока:

,

где – комплексное сопротивление цепи.

4) Зная выражение для комплексной амплитуды тока в виде , можем, используя обратный переход, записать выражение для мгновенного тока: .

Обычно рассматривают действующие значения токов и напряжений. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в раз, то обычно вместо комплексных амплитуд рассмат­ривают комплексные действующие величины: , .