15. Монотонность и локальный экстремум функции.

Функция y=f(x) называется неубывающей на множестве Х, если для любых точек х₁, х₂ их этого множества из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(х₁) ≤ f( х₂). Если f(х₁) ≥ f( х₂), то функция невозрастающая.

Если знаки нестрогого неравенства заменить на строгие, то функции будут возрастающая и убывающая соответственно.

Неубывающая и невозрастающая функции называются монотонными, а возрастающая и убывающая – строго монотонными.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), тогда справедливо утверждать, что функция f(x) неубывает (невозрастает) на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда ее производная f’(x)≥0 (≤0) для всех х из интервала (a,b).

Точка х₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции y=f(x), если существует такая окрестность точки х₀ , что для всех точек окрестности, отличных от точки х₀ выполняется неравенство f(x₀)>f(x) (f(x₀)<f(x)).

Точки локального экстремума – точки локального максимума и локального минимума, а значения функции в этих точках называется экстремумами функции.

Теорема (Ферма)

Если точка х₀ – точка локального экстремума и функция дифференцируема в этой точке, то производная функции в этой точке равна 0.

15. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда в силу теоремы Вейерштрасса мы можем утверждать, что она принимает на этом отрезке свои наименьшее и наибольшее значения, которые и называют глобальными экстремумами функции.

Алгоритм нахождения:

1. Найти производную

2. Приравнять к нулю

3. Найти критические точки, принадлежащие отрезку [a,b]

4. Вычислить значение функции в найденных точках и на концах отрезка

5. Среди найденных точек выбрать наибольшую и наименьшую

15. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если график этой функции расположен не выше (не ниже) касательных к графику в любой точке из этого интервала.

Если функция y=f(x) имеет в интервале (a,b) конечную производную 2 порядка f’’(x)≥0 (f’’(x)≤0), то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом интервале.

Точка M₀(x₀;f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если при переходе через эту точку меняется характер выпуклости графика.

15. Асимптоты графика функции.

Асимптоты бывают вертикальные и невертикальные.

Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке a равен +∞ или -∞.

Вертикальную асимптоту график функции пересекать не может.

Прямая y=kx+b называется невертикальной асимптотой графика функции y=f(x) при x→∞, если справедливо равенство f(x)=kx+b+dx, где .

Вертикальные асимптоты сопутствуют точкам разрыва второго разряда.

Для нахождения вертикальных асимптот находятся следующие пределы