9. Свойства сходящихся последовательностей.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Свойства:

Сходящаяся последовательность ограничена

Сумма сходящихся последовательностей представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов данных последовательностей

Разность сходящихся последовательностей представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов данных последовательностей

Произведение сходящихся последовательностей представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов данных последовательностей

Частное двух сходящихся последовательностей, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей

10. Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любой последовательности (x_n) значение аргумента такое, что x_n ≠ x₀ и предел , соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится к числу А.

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

11. Свойства пределов функций. Два замечательных предела.

Свойства пределов:

1. и

   1. 

2. 

3. 

1 замечательный предел

2 замечательный предел

12. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малая – числовая функция, которая стремится к нулю.

– бесконечно малая в точке х₀, если

Свойства:

1. Сумма двух БМФ равна БМФ

2. Произведение двух БМФ равно БМФ

3. Произведение БМФ на ограниченную функцию равно БМФ

Бесконечно большая – функция, которая стремится к бесконечности.

– бесконечно большая в точке х₀, если

α(x) – БМФ в точке х₀ ⟹ – ББФ в точке х₀, т.к.

α(x) – ББФ в точке х₀ ⟹ – БМФ в точке х₀, т.к.

13. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентных бмф.

α(х), β(х) – БМФ одного порядка малости в точке х₀, если .

α(х) – БМФ более высокого порядка малости, чем β(х) в точке х₀, если .

α(х), β(х) – эквивалентные БМФ в точке х₀, если .

Таблица основных эквивалентных БМФ:

14. Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций.

Функция f(x) – непрерывная в точке x₀, если существует предел функции, равный ее значению f(x₀)

Функция f(x) – непрерывная на множестве F, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Свойства:

Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная

Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная

Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то она принимает там свои максимальные значения

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b], то она принимает любые значения, заключенные между наибольшим и наименьшим.

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0, принадлежащий [a,b]