§3 Центральная предельная теорема (цпт)

п1. Теоремы группы ЦПТ

ЦПТ – группа теорем, формулирующих условия сходимости распределений некото– рых сумм с.в. к нормальному закону с ростом числа с.в., зависящее от свойств рас–сматриваемых последовательностей с.в.

Для удобства дальнейшего обсуждения темы введем следующие обозначения:

ξ_1, ξ _{2, ..,} ξ _{n, …} – последовательность случайных величин (с.в.);

L(x) – закон распределения с.в. X;

^{Теорема Леви. Пусть ξ}_1, ^ξ _{2, ...} ^{– независимые, одинаково распределенные с.в. с конечной дисперсией. Тогда} или

Доказательство проводим методом характеристических функций (м.х.ф.). Обозначим По свойствам характеристических функций имеем:

ч.т.д.

Теорема Ляпунова. Пусть ξ_1, ξ _{2, ...} – независимые с.в. Обозначим и

Тогда, если a_k, b_k, c_k при любом k конечны, то или (без доказательства).

Примеры проверки выполнения условий теоремы Ляпунова:

Задача 1.

ξk	–k	k
P	0. 5	0. 5

{ ξ_k } – независимые с.в. Проверить, что

Решение. условия теоремы выполнены.

Задача 2.

ξ_k ~ R[-k,k]; { ξ_k }– независимые с.в. Выполняются ли условия теоремы Ляпунова для { ξ_k }?

Решение.

условия теоремы Ляпунова для { ξ_k } выполнены.

Теорема Пуассона. При n→∞, p→0, np = λ< ∞, (*) тогда для фиксированного целого m ~ B(n, p), (0  m  n) и q = 1– p,

где

Доказательство.

ч.т.д.

Обобщенная теорема Пуассона. Пусть { ξ_k }– последовательность бер-нулливских с.в., ξ_k ~ B(1,p_k);

Условия асимптотики: n→∞, 0 < λ< ∞. (**)

Тогда (это слабая сходимость распределения с.в. S_n к

Доказательство проведем методом производящих функций.

что и требовалось доказать, т.к. это производящая функция закона Пуассона с параметром λ.

Практическая рекомендация. Применять (1) при больших n и npq < 9.

п 2. Приближения биномиальной схемы

Производится n испытаний Бернулли с вероятностью успеха A в одном опыте Р(А) = р (Р(А)=1 – р = q). Тогда вероятность получить ровно m успехов в n испытаниях есть

(биномиальная вероятность). (2)

При больших n вычисление по (1) затруднительно, поэтому используют приближения, сформулированные в виде следующих теорем.

Локальная теорема Муавра – Лапласа (ЛТМЛ).

При n→∞ (3)

где – табличная функция, (без доказа-тельства).

Практическая рекомендация. Применять (3) при npq ≥ 9.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа (ИТМЛ).

Равномерно относительно x′ и x″ (-∞ < x′ < x″< ∞) при n→∞

(4)

где – табличная функция, а см. выше.

Практическая рекомендация. Применять (3) и (4) при больших n и npq ≥ 9.

Практический смысл ИТМЛ.

Положим в качестве x₁ и x₂ значения: которые удовлетворяют условиям ИТМЛ.

Тогда практически при больших n имеем по (3) следующее приближенное равенство:

или

(5)

Замечание 1. Утверждение ИТМЛ можно представлять в следующих видах:

или

Доказательство ИТМЛ следует из теоремы Леви, т.к. с.в. m ~ B(n, p), где {X} – независимые одинаково распределенные с.в. по B(1, p). Потому в (3) – нормированная сумма независимых одинаково распределенных бернулливских с.в., распределение которой по теореме Леви при n→ ∞ сходится к N(0, 1) откуда ИТМЛ в форме (3).

Следствие из ИТМЛ.

(6)

m ~ B(n, p).

Доказательство.

где с.в. ~ B(1,p), {X_i} – независимые с.в. ( ).

Замечание 2. Из (6) следует, что для m ~ B(n, p).

что значит, что с заданной надежностью P можно указать интервал изме-нения m в пределах и т.е.

(7)

Таким образом, по (6) и (7) с заданной надежностью P (P–доверительная вероятность) легко выписываются доверительные интервалы для относи-тельной частоты и частоты m, где m ~ B(n, p):

Замечание 3. При применении следствия из ИТМЛ возникают следующие задачи: прямая – известны n, p, ε, найти P, и обратная – известны P и два из параметров n, p, ε. Найти неизвестный параметр.

Задачи к теме “Приближения биномиальной схемы”

Задача 1.

Найти вероятность того, что в n = 300 испытаниях Бернулли с вероят-ностью успеха P(A) = 0.25 событие А наступит а) 75 раз б) 100 раз

Решение. а)

б) где далее досчитать самостоятельно с исполь-зованием таблиц функции Лапласа Ф(х).

Задача 2.

Сколько нужно провести испытаний Бернулли, чтобы с вероятностью 0.9 можно ожидать, что успех ( Р(А) = 0.8) произойдет не менее 75 раз.

Решение: Воспользуемся формулой (5), где р = 0.8, q = 0.2, m₁ = 75, m₂ = n – искомое число испытаний.

т.к. n > 75,

Задача 3.

Монету бросают 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что герб вы–падает на 2m больше, чем решка.

Решение. По (3)

Задача 4.

На базу отправлено 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится = 0.0002 для каждого независимо от других. Найти вероятности событий а) повредится 2 изделия б) повредится не менее треx изделий.

Решение. По (1) имеем

а)

б)

Досчитать по (1) самостоятельно.

Задача 5.

С конвейера сходит в среднем 85% изделий 1-го сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0.9973 отклонение частоты изделий 1-го сорта в них по модулю от своей вероятности не превосходило бы 0.01?

Решение. По (6) решаем обратную задачу при р = 0.85, q = 0.15, ε = 0.01, P=0.9973. n находим из уравнения По таблицам

Задача 6.

Монету бросают 100 раз. Найти интервал, в который с вероятностью 0.9973 будет заключено число выпадений гербов.

Решение. По (9) (n = 100, p = q = 0.5, P = 0.9973) имеем

Искомый интервал (np – ε, np + ε) = (50 – 15, 50 + 15) = (35, 65).

Задача 7.

Производится 1500 независимых испытаний с вероятностью успеха в одном опыте = 0.3. Найти вероятность того, что число успехов отклонится от свое– го среднего не более, чем на 150.

Решение. По (7) (n = 1500, p = 0.3, q = 0.7, ε = 150) имеем

Задача 8.

В сети 180 лампочек. Вероятность быть включенной для каждой лампочки =0.9 (независимо от других). Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты включенных лампочек от своей вероятности (0.9) по модулю не превзойдет 0.1.

Решение. По (6) (n = 180, p = 0.9, q = 0.1, ε = 0.1) имеем

п 3. Задачи на ЦПТ.

Задача 1.

Доказать, что

Решение. (Доказательство)

С.в. ; = 1; M = n; D

С использованием формулы Стирлинга ( ), получаем

ч.т.д., где ~

Задача 2.

Зрители приходят в театр парами. Число мест в театре n=1000. Зрители равновероятно пользуются двумя входами, около каждого из них имеется гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероят-ностью 0.99 каждый зритель мог воспользоваться ближайшим гардеробом.

Решение. X – число мест в каждом гардеробе, m – число пар, вошедших в первый вход.

Тогда 0.99 = Р (x 2m; x2n – 2m) = 1000 = 2n =

Задача 3.

В таблице случайных чисел каждое целое 0 9 появляется с вероятностью 0.1 (независимо от других). Сколько нужно случайных чисел, чтобы вероятность 0.99 среди них появлялись 100 нулей?

Решение. С. в. X – число нулей; с. в. X ~ B(n, p =0.1).

По ИТМЛ получаем (100, n) = 0.99

т.к. Отсюда по таблице Ф(x) получаем

Задача 4.

В страховой компании (n = 10 000 клиентов) страховой взнос каждого равен 500 рублей. Р – вероятность катастрофы. На какую прибыль с вероятностью 0.95 может рассчитывать компания?

Решение. S=10 000∙500=5 000 000 – страховая сумма, Х – случай поте-ри (выплаты) компании.

Y = S – X – прибыль. С.в. X . По ИТМЛ имеем

P(|X–MX| ) =

Значение находится из равенства:

Тогда 0.95 = Р (np– np+ ) =P(S–np– np+ + )= Самостоятельно досчитать искомые и

Задача 5.

{X_i} – нз,

Найти:

Решение. С. в. X_i ~ R[–1, 1], MX_i = 0,

по теореме Леви

Задача 6.

Найти:

Решение.

	–1	1
P	0.5	0.5

MX_i = 0; DX_i = 1; MS_n= 0; DX_n= n;

по теореме Леви

Задача 7.

Найти:

Решение. С. в. X_i ~ E( = 1); MX_i = DX_i = 1; MS_n = DS_n = n;

по теореме Леви

Задача 8. При каких значениях и к последовательности при-менима теорема Ляпунова, если дан ряд распределения с. в. ?

	–	0
P

Решение. a_k = M = 0, = D =

при

при любых

Задача 9.

X₁, X₂, … , X_n … – одно из распределенных, X_k ~ R[–1,1], k=1, 2, …

,

Найти: Найти закон распределения с. в. при n

Решение: т. к. MS_n = 0,

Литература.

1. Д. Тернер. «Вероятность, статистика и исследование операций», Москва «Статистика» 1976.

2. И.Г. Венецкий, В.И. Венецкая. «Основные математико-статические понятия и формулы в экономическом анализе», Москва «Статистика» 1979.

3. Дж. Вайнберг, Дж. Шумекер. «Статистика», Москва «Статистика» 1979.

4. А.А. Боровков. «Теория вероятностей», М., Наука, 1986.

5. А.Н. Ширяев. «Вероятность», М., Наука, 1980.

144