Часть III. Предельные теоремы теории вероятностей
§1. Методы производящих и характеристических функций
Аппарат характеристических и производящих функций оказывается конструктивным и образует метод, состоящий в использовании свойств этих функций для решения конкретных задач теории вероятности:
МПФ – метод производящих функций,
МХФ – метод характеристических функций.
п1. Методы производящих функций
Определение.
Пусть
случайная величина (с.в.) ξ
≥ 0, ξ
– целочисленная,
где k
– целое число;
,
тогда
производящей функ-цией (п. ф.) случайной
величины ξ
называется функция:
(1)
1.Свойства производящей функции
1)
определена в каждой точке [-1,1]
(т.к.
).
2)
(т. к.
).
3)
Производящая функция
взаимно однозначно соответствует
вероятностям
Доказательство. Утверждение следует из (1) и единственности разло-жения ряда в ряд Тейлора. Напишем ряд разложения функции в нуле (ряд Маклорена):
откуда из сравнения с определением производящей функции
следует,
что
Эта
формула дает возможность пересчитывать
из п.ф. ряд распределения. Кроме того
эта формула наряду с определением
производящей функции устанавливает
взаимно однозначное соответствие между
разными формами задания закона
распределения рассматриваемых с.в. в
виде ряда распределения и производящей
функции.
4)
– независимые случайные величины, тогда
Доказательство. По определению
5)
,
– независимые
случайные величины. Тогда
Доказательство. По определению
6)
где
{
}
– независимые
одинаково распределенные случай-ные
величины, {}
и Y
– независимы,
целочисленные, для них известны
производящие функции:
и
. Доказать,
что
Доказательство.
7) Связь производящей функции с моментами. Доказать, что
Доказательство.
продифференцируем
в единице:
С
другой стороны:
откуда
что
совпа-дает с преобразованием левой
части доказываемой формулы. Выпишем
выражения MX
и DX
через
Из
следует, что
8)
Моменты случайного числа случайных
слагаемых.
где
независимые
одинаково распределенные случайные
величины,
и Y
– независимы,
целочисленные и неотрицательны и для
них известны производящие функции:
и
.
Выразим
моменты
MZ
и DZ
через соответствующие моменты MX,
MY,
DX,
DY,
которые, при заданных
и
,
легко вычисляются по предыдущему пункту.
Из
пункта 6 известно, что .
Из
пункта 7 известно, что
Поэтому
MZ
=
MY·MX
где
DX=
DY=
откуда
+(DX
– MX + (MX)2)
(MY) = DY (MX)2–
MY (MX)2+
(MY· ·MX)2+
DX
(MY) +( MX)2MY
DZ=
DY(MX)2
–
MY(MX)2
+
(MY· ·MX)2
+
DX(MY) – MX(MY) + (MX·MY2)
+ MX·MY – – (MX·MY)2
=
DY(MX)2
+
DX·DY.
2. Производящие функции хвостов
Общее
определение производящей функции
последовательности: Пусть 
,
… - последовательность действительных
чисел. Если ряд
сходится
в каком-нибудь интервале
то A(s)
– производящая функция последовательности
{ai}.
Пусть
pj
=
P{X
= j},
qj
=
P{X
> j},
j
= 0,1,2,…
.Тогда {pj}–
распреде-ление вероятностей, т.к.
,
а {qj}
– не является распределением вероятностей,
т.к.
qk = pk+1 + pk+2 + …, k≥0; φ(s) = p0 + p1s + p2s2 + … (2)
q0 = p1 + p2 + … = 1 – po, k=0; Q(s) = q0 + q1s + q2s2 + …
Оба ряда сходятся хотя бы при |s|<1, поэтому φ(s) – производящая функ-ция случайной величины X; а Q(s) – производящая функция последова-тельности чисел {qj}.
Теорема
1. При
(3)
Доказательство.
Коэффициент при 
в разложении по степеням s
выра-жения
(1–s)Q(s)
равен
если
и
q0
= p1
+ p2
+ … = 1 – po,
если n
= 0;
коэффициент при sn
в разложении по степеням s
выражения (1
– φ(s))
есть –
pn
при
и 1–
po
при
n=0.
То есть коэффициенты при sn
совпадают, откуда и следует (3).
Теорема 2. EX = Q(1); DX = 2Q’(1) + Q(1) – (Q(1))2, (4) где EX и DX – соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины X.
Доказательство.
Известно,
что EX
=
и
DX
=
+
–
Тогда
по
(3)
Q(s)
– Q’(s)(1–s);
Q(1)
–
=
Q(1)
имеем
EX
= Q(1);
DX
=
+
–
что
и утверждалось.
Применение метода производящих функций обсудим на примерах.