1.5.3. Свойства выборочных моментов
Выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для теоретического среднего (математического ожидания):
Свойство 2.
1)
Если , то .
2)
Если , то при .
3)
Если и не равна нулю, то .
Доказательство свойства 2
1)
.
2)
Согласно ЗБЧ в форме Хинчина, .
3)
Согласно ЦПТ,
Q.D.E.
Выборочный -й момент является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для теоретического -го момента:
Свойство 3.
1)
Если , то .
2)
Если , то при .
3)
Если и не равна нулю, то .
Упражнение. Доказать свойство 3.
В дальнейшем мы не будем оговаривать существование соответствующих моментов. В частности, в первых двух пунктах следующего утверждения предполагается наличие второго момента у случайных величин , а в третьем пункте — четвертого (дисперсии величины ).
Свойство 4.
1)
Выборочные дисперсии и являются состоятельными оценками для истинной дисперсии:
.
2)
Величина — смещенная, а — несмещенная оценка дисперсии:
3)
Выборочные дисперсии и являются асимптотически нормальными оценками истинной дисперсии:
.
Доказательство свойства 4.
1)
Во-первых, раскрыв скобки, полезно убедиться в том, что
|
(2) |
Из (2) и ЗБЧ следует, что . Кроме того, , так что .
2)
Воспользуемся формулой (2):
3)
Выборочную дисперсию можно представить в следующем виде:
поскольку первое слагаемое слабо сходится к по ЦПТ, а второе слагаемое слабо сходится к нулю как произведение сходящейся к нулю по вероятности последовательности и последовательности, слабо сходящейся к . какое свойство слабой сходимости использовано дважды?
1.6. Группированные данные (некоторые вводные понятия эконометрики)
Если
объем выборки очень велик, часто работают
не с элементами выборки, а с группированными
данными. Приведем ряд понятий,
связанных с группировкой. Для простоты
будем делить область выборочных данных
на
одинаковых
интервалов
,
,
длины
:
Как
прежде, пусть
—
число элементов выборки, попавших в
интервал
,
и
—
частота попадания в интервал
(оценка
вероятности попадания в интервал):
На
каждом из интервалов
строят
прямоугольник с высотой
и
получают гистограмму.
Рассмотрим
середины интервалов:
—
середина
.
Набор
можно
считать «огрубленной» выборкой, в
которой все
,
попадающие в интервал
,
заменены на
.
По этой выборке можно построить такие
же (но более грубые) выборочные
характеристики, что и по исходной
(обозначим их так же), например выборочное
среднее
или выборочную дисперсию
Кривая,
соединяющая точки
,
,
,
,
,
называется полигоном (частот). В отличие
от гистограммы полигон — непрерывная
функция (ломаная).
1.7. Вопросы и упражнения
1.
Можно ли по эмпирической функции распределения, приведенной на рис. 1, восстановить выборку , если известно? А вариационный ряд? Как это сделать? А если неизвестно?
2.
Существует
ли выборка
объема
6 с нарисованной ниже эмпирической
функцией распределения? А выборка
объема
12? Если «да», то записать ее и нарисовать
эмпирическую функцию распределения
выборки
.
3.
Можно ли по гистограмме, приведенной на рис. 2, восстановить выборку ?
4.
Нарисовать
эмпирическую функцию распределения,
соответствующую выборке объема
из
распределения Бернулли
.
Использовать выборочное среднее
.
Доказать непосредственно, что выполнена
теорема Гливенко — Кантелли:
5.
Вспомнить,
как найти по функции распределения
величины
функцию
распределения первой и последней
порядковой статистики:
,
.
Выписать выражения для плотности этих
порядковых статистик через функцию
распределения и плотность величины
.
6.
Доказать (или вспомнить), что функция распределения -й порядковой статистики имеет вид:
где — функция распределения величины .
7.
Из курса «Эконометрика»: доказать, что среднее степенное
а)
стремится к
при
;
б)
стремится к
при
.
Имеется в виду сходимость для любого набора чисел , такого, что среднее степенное определено, т.е. сходимость п.н.
Указание.
Вынести
(или
)
из-под корня, воспользоваться леммой о
двух милиционерах и свойствами:
при
,
при
,
и т.д.
8.
В условиях предыдущей задачи доказать, что последовательность
не убывает по .
Указание. Воспользоваться неравенством Йенсена.