1.5.2. Свойства гистограммы

Пусть распределение абсолютно непрерывно, — его истинная плотность. Пусть, кроме того, число интервалов группировки не зависит от . Случай, когда , отмечен в замечании 1. Справедлива

Теорема 4. При для любого

Упражнение.    Доказать теорему 4, используя (1) и ЗБЧ.

Теорема утверждает, что площадь столбца гистограммы, построенного над интервалом группировки, с ростом объема выборки сближается с площадью области под графиком плотности над этим же интервалом.

1.5.3. Свойства выборочных моментов

Выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для теоретического среднего (математического ожидания):

Свойство 2.  

1)

Если , то .

2)

Если , то при .

3)

Если и не равна нулю, то .

Доказательство свойства 2 

1)

.

2)

Согласно ЗБЧ в форме Хинчина, .

3)

Согласно ЦПТ,

Q.D.E.

Выборочный -й момент является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для теоретического -го момента:

Свойство 3.  

1)

Если , то .

2)

Если , то при .

3)

Если и не равна нулю, то .

Упражнение.    Доказать свойство 3.

В дальнейшем мы не будем оговаривать существование соответствующих моментов. В частности, в первых двух пунктах следующего утверждения предполагается наличие второго момента у случайных величин , а в третьем пункте — четвертого (дисперсии величины ).

Свойство 4.  

1)

Выборочные дисперсии и являются состоятельными оценками для истинной дисперсии:

.

2)

Величина — смещенная, а — несмещенная оценка дисперсии:

3)

Выборочные дисперсии и являются асимптотически нормальными оценками истинной дисперсии:

.

Доказательство свойства 4. 

1)

Во-первых, раскрыв скобки, полезно убедиться в том, что

(2)

Из (2) и ЗБЧ следует, что . Кроме того, , так что .

2)

Воспользуемся формулой (2):

3)

Выборочную дисперсию можно представить в следующем виде:

поскольку первое слагаемое слабо сходится к по ЦПТ, а второе слагаемое слабо сходится к нулю как произведение сходящейся к нулю по вероятности последовательности и последовательности, слабо сходящейся к  . какое свойство слабой сходимости использовано дважды?

1.5.2. Свойства гистограммы

Пусть распределение абсолютно непрерывно, — его истинная плотность. Пусть, кроме того, число интервалов группировки не зависит от . Случай, когда , отмечен в замечании 1. Справедлива

Теорема 4. При для любого

Упражнение.    Доказать теорему 4, используя (1) и ЗБЧ.

Теорема утверждает, что площадь столбца гистограммы, построенного над интервалом группировки, с ростом объема выборки сближается с площадью области под графиком плотности над этим же интервалом.

1.5.3. Свойства выборочных моментов

Выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для теоретического среднего (математического ожидания):

Свойство 2.  

1)

Если , то .

2)

Если , то при .

3)

Если и не равна нулю, то .

Доказательство свойства 2 

1)

.

2)

Согласно ЗБЧ в форме Хинчина, .

3)

Согласно ЦПТ,

Q.D.E.

Выборочный -й момент является несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для теоретического -го момента:

Свойство 3.  

1)

Если , то .

2)

Если , то при .

3)

Если и не равна нулю, то .

Упражнение.    Доказать свойство 3.

В дальнейшем мы не будем оговаривать существование соответствующих моментов. В частности, в первых двух пунктах следующего утверждения предполагается наличие второго момента у случайных величин , а в третьем пункте — четвертого (дисперсии величины ).

Свойство 4.  

1)

Выборочные дисперсии и являются состоятельными оценками для истинной дисперсии:

.

2)

Величина — смещенная, а — несмещенная оценка дисперсии:

3)

Выборочные дисперсии и являются асимптотически нормальными оценками истинной дисперсии:

.

Доказательство свойства 4. 

1)

Во-первых, раскрыв скобки, полезно убедиться в том, что

(2)

Из (2) и ЗБЧ следует, что . Кроме того, , так что .

2)

Воспользуемся формулой (2):

3)

Выборочную дисперсию можно представить в следующем виде:

поскольку первое слагаемое слабо сходится к по ЦПТ, а второе слагаемое слабо сходится к нулю как произведение сходящейся к нулю по вероятности последовательности и последовательности, слабо сходящейся к  . какое свойство слабой сходимости использовано дважды?