Лекции по математической статистике

2-й курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» осенний семестр

Н.И.Чернова

Предлагаемый вашему вниманию курс теоретической статистики содержит материал из классических разделов математической статистики. Речь пойдет об оценке параметров, проверке гипотез, немного о регрессионном анализе. Курс предназначен студентам экономического факультета НГУ, но его могут попробовать освоить студенты математического факультета. Курс не содержит экономических приложений и ни в коей мере не собирается обсуждать применение статистических методов. И то, и другое студенты-экономисты в НГУ изучают в годовом курсе эконометрики (регрессионного анализа).

• Основные понятия математической статистики

  • Основные понятия выборочного метода

  • Выборочное распределение

  • Эмпирическая функция распределения, гистограмма

  • Выборочные моменты

  • Сходимость эмпирических характеристик к теоретическим

    • Свойства эмпирической функции распределения

    • Свойства гистограммы

    • Свойства выборочных моментов

  • Группированные данные (некоторые вводные понятия к эконометрии)

  • Вопросы и упражнения

• Точечное оценивание

  • Параметрические семейства распределений

  • Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность оценок

  • Методы нахождения оценок: метод моментов

  • Состоятельность оценок метода моментов

  • Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия

  • Вопросы и упражнения

• Сравнение оценок

  • Среднеквадратический подход. Эффективность оценок

  • Единственность эффективной оценки в классе с заданным смещением

  • Асимптотически нормальные оценки (АНО)

  • «Скорость» сходимости оценки к параметру

  • Асимптотическая нормальность ОММ

  • Асимптотический подход к сравнению оценок

  • Вопросы и упражнения

• Эффективные оценки

  • Регулярность семейства распределений

  • «Регулярные» и «нерегулярные» семейства распределений

  • Неравенство Рао — Крамера

  • Неравенство Рао — Крамера и эффективность оценок

  • Наилучшие линейные несмещенные оценки

  • Вопросы и упражнения

• Интервальное оценивание

• Распределения, связанные с нормальным

  • Гамма-распределение и его свойства

  • Распределение «хи-квадрат» и его свойства

  • Распределение Стьюдента и его свойства

  • Распределение Фишера

  • Преобразования нормальных выборок

  • Точные ДИ для параметров нормального распределения

  • Вопросы и упражнения

• Проверка гипотез

  • Две простые гипотезы

  • Подходы к сравнению критериев

  • Построение оптимальных критериев

    • Из человеколюбия

    • Лемма Неймана — Пирсона

• Критерии согласия

  • Критерии согласия: критерий Колмогорова

  • Критерии согласия: критерий Пирсона

  • Критерий Пирсона для проверки параметрической гипотезы

  • Проверка гипотезы однородности

  • Проверка гипотезы независимости: критерий хи-квадрат Пирсона

  • Совпадение дисперсий двух нормальных выборок

  • Совпадение средних двух нормальных выборок с равными дисперсиями

  • Гипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсией

  • Гипотеза о среднем нормальной совокупности с неизвестной дисперсией

  • Критерии, основанные на доверительных интервалах

• Исследование статистической зависимости

  • Математическая модель регрессии

  • Метод максимального правдоподобия

  • Метод наименьших квадратов

  • Примеры

  • Общая модель линейной регрессии

  • Метод наименьших квадратов. Нормальное уравнение

  • Свойства ОМНК

• Добавления

  • Многомерное нормальное распределение

  • Доказательство теоремы Пирсона

• Алфавитный указатель

• Литература

• About this document ...