3. Механизация арифметических вычислений
С развитием общества росла и потребность в более быстрых и точных вычислениях. Эта потребность вызвала к жизни четыре замечательных изобретения: индо-арабские числовые обозначения, десятичные дроби, логарифмы и современные вычислительные машины.
На самом деле простейшие счетные устройства существовали до появления современной арифметики, ибо в древности элементарные арифметические операции производились на абаке (в России с этой целью использовались счеты). Простейшим современным вычислительным устройством можно считать логарифмическую линейку, представляющую собой две скользящие одна вдоль другой логарифмические шкалы, что позволяет производить умножение и деление, суммируя и вычитая отрезки шкал. Изобретателем первой механической суммирующей машины принято считать Б.Паскаля (1642). Позднее в том же столетии Г.Лейбниц (1671) в Германии и С.Морленд (1673) в Англии изобрели машины для выполнения умножения. Эти машины стали предшественницами настольных вычислительных устройств (арифмометров) 20 в., позволявших быстро и точно производить операции сложения, вычитания, умножения и деления.
В 1812 английский математик Ч.Бэббидж приступил к созданию проекта машины для вычисления математических таблиц. Хотя работа над проектом продолжалась долгие годы, она так и осталась незавершенной. Тем не менее проект Бэббиджа послужил стимулом к созданию современных электронных вычислительных машин, первые образцы которых появились около 1944. Быстродействие этих машин поражало воображение: с их помощью за минуты или часы удавалось решить задачи, ранее требовавшие многих лет непрерывных вычислений даже с применением арифмометров.
Суть дела можно пояснить на примере конкретной арифметической задачи, например, вычисления числа p (отношения длины окружности к ее диаметру). Первые систематические попытки вычисления p встречаются у Архимеда (ок. 240 до н.э.). Используя весьма несовершенную систему счисления, он после долгих трудов сумел вычислить p с точностью, эквивалентной в нашей современной системе счисления двум знакам после запятой. Используя метод Архимеда, Л.ван Цейлен (1540–1610), посвятив этому значительную часть жизни, сумел вычислить p с точностью 35 знаков после запятой. В 1873 после пятнадцати лет работы У.Шенкс получил значение p с 707 знаками, но позднее выяснилось, что начиная с 528-го знака в его вычисления вкрались ошибки. В 1958 компьютер фирмы ИБМ вычислил за 40 секунд 707 знаков числа p и, продолжая далее вычисления, получил за 100 минут 10000 знаков [19,с. 76].
4. Арифметика в образовании
Образование арифметических понятий тесно связано с процессом счёта. В его основе лежат такие элементы мыслительной деятельности, как умение узнавать предмет; различать предметы; разделять совокупность предметов на элементы, равноправные при счёте (иными словами, пользоваться единицей счёта); умение располагать элементы последовательно, упорядочивать их, что приводит к счёту различных по качеству предметов и образованию понятия числа. Подобные процессы можно наблюдать при усвоении понятий детьми.
Стандарты начального образования предполагают навыки счёта и сравнения чисел до миллиона, работу с основными единицами измерения и соотношениями между ними, выполнение четырёх основных арифметических операций (устно до 100 и письменно до 10 000), а также деления с остатком, поиск значения числового выражения, состоящего из нескольких арифметических действий. Школьный материал подаётся с помощью наглядных представлений. В первом классе дети имеют дело с числовыми образами и количествами предметов, счёт идёт до 20. Во втором классе вводят десятичную систему, позиционную систему, таблицу умножения, счёт идёт до 100. В третьем классе изучают арифметические действия с многозначными числами. Дальнейшим шагом идёт переход к буквенным обозначениям, иными словами - от конкретного к абстрактному. Именно с этого, по мнению Клейна, и начинается математика. Трудность изучения арифметики в начальной школе заключается в том, что необходимо осуществлять счёт отвлечённо от природы предметов [8,с. 45].
Обучение в средней школе связано с расширением понятия числа, вводят дроби и действия над ними, отрицательные числа, иррациональные числа. Действительные и комплексные числа, а также алгоритм Евклида и основная теорема арифметики относят к полному среднему образованию. Согласно Российскому Федеральному государственному образовательному стандарту, "Содержание раздела "Арифметика" служит базой для дальнейшего изучения учащимися математики, способствует развитию их логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни"
В современном мире математическая грамотность является одной из основных целей образования. Она включает в себя, в частности, умение совершать арифметические действия, проводить подсчёты и измерения.
Вопросами математической грамотности детей и взрослых занимаются такие организации, как ЮНИСЕФ и ЮНЕСКО.
Вместе с тем долгое время обучение арифметическим действиям сводилось к механическому выполнению образцов. В Древнем Китае большое внимание уделялось обучению математике, включая сдачу экзаменов. В Императорской академии математика изучалась семь лет. Однако классические математические трактаты рассматривались как догма и переиздавались без изменений.
В Европе систематические упражнения на сложение, вычитание, умножение и деление были предложены Тарталья в XVI веке, но они ещё долгое время не входили в обиход.
Кроме того, в Средние века существовали правила для решения большого числа частных арифметических задач. В некоторых учебниках встречается до 26 таких правил, при этом они могут не совпадать от учебника к учебнику.
Некоторые правила не потеряли своей актуальности до сих пор. К ним относятся пропорции (дроби рассматривались как отношения двух чисел, что приводило к рассмотрению пропорций для совершения операций), проценты.
Арифметика является четвёртым из семи свободных искусств по уровню обучения. Ей предшествует тривиум, состоящий из Грамматики, Риторики и Диалектики, а сама она является старшей наукой в квадривиуме, к которому также относятся Геометрия, Музыка и Астрономия.
С появлением первых европейских университетов математика преподавалась на факультетах искусства как квадривиум и была вспомогательной дисциплиной. Первые лекции по арифметике были прочитаны магистром Венского университета Иоганном из Гмундена в 1412 году.
Таким образом, мы видим что арифметика в жизни человека, науке и образовании играет очень важную роль, и никак не уступает другим наукам.